Question

Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшие расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности. Найди угол между касательными: А. 30° В. 45° С. 90° Д. 120°

Answer 1

Пусть АВ и АС - касательные из точки А к окружности с центром в О.
Пусть М - точка пересечения отрезка АО и АМ. Тогда АМ - кратчайшее расстояние от А до окружности. По условию АМ = ОМ = ОВ = r, где r - радиус окружности.
По ствойству касательной к окружности ОВ⊥АВ ⇒ ΔАОВ - прямоугольный, в котором гипотенуза ОА в 2 раза больше катета ОВ ⇒ ∠ОАВ = 30°.
Как известно, центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому ∠ВАС = 2·30° = 60°.
Ответ: 60°.

Answer 2

Пусть $O$ - центр окружности, а $P$ - точка, из которой проведены касательные к окружности $AB$ и $CD$. Пусть $E$ - точка касания касательной $AB$ с окружностью, а $F$ - точка касания касательной $CD$ с окружностью. Так как $AB$ и $CD$ - касательные, угол между касательной и радиусом в точке касания является прямым углом. Пусть $\angle AOE = \alpha$, тогда $\angle BOD = \alpha$ (угол между касательной и радиусом в точке касания). Также, угол между касательными $\angle EOD = \angle FOB = 90^\circ$ (по свойству касательных к окружности). Таким образом, угол между касательными $\angle AOB = \alpha + 90^\circ + 90^\circ = \alpha + 180^\circ$.

Теперь мы знаем, что кратчайшее расстояние от точки $P$ до окружности равно радиусу. То есть, $OP = R$. Используем теорему Пифагора в треугольнике $OPE$:

$OE^2 + OP^2 = EP^2$ $R^2 + R^2 = EP^2$ $EP^2 = 2R^2$

Теперь воспользуемся косинусом угла $\alpha$ в треугольнике $OPE$:

$\cos(\alpha) = \frac{OE}{EP} = \frac{R}{\sqrt{2R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь найдем угол $\alpha$. Угол $\alpha$ можно найти с помощью обратного косинуса:

$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $\alpha = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, угол между касательными $\angle AOB = \alpha + 180^\circ = \frac{\pi}{4} + 180^\circ = \frac{9\pi}{4}$.

Так как $\frac{9\pi}{4}$ превышает $2\pi$ (полный оборот), мы можем вычесть $2\pi$ из угла:

$\angle AOB = \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi}{4}$

Угол $\frac{\pi}{4}$ в радианах соответствует $45^\circ$. Таким образом, правильный ответ - В. 45°.