Question

Точка A лежит в плоскости α, параллельной прямой а. Через точку А проведена прямая b, параллельная прямой a. Докажите, что прямая b лежит в плоскости α.

Answer 1

Допустим: b не лежит в альфа, тогда b пересекает альфа в точке А. Т.к. b параллельна a (по условию), то и а пересекает альфа (по т. Лемма), но по условию а параллельна альфа, значит они не имеют общих точек (противоречие условию), тогда а не пересекает альфа. Значит b лежит в альфа

Answer 2

Для доказательства того, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, можно воспользоваться свойствами параллельных прямых и плоскостей.

Дано:

1. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, то есть $A \in \alpha$.
2. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, следовательно, все точки прямой $a$ также лежат в плоскости $\alpha$.
3. Прямая $b$ проведена через точку $A$ и параллельна прямой $a$.

Доказательство: Так как прямая $b$ параллельна прямой $a$ и проходит через точку $A$, то все точки прямой $b$ также будут лежать на прямой $a$ и, следовательно, в плоскости $\alpha$, так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Это доказывает, что если точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ и проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$ и проходящая через точку $A$, то прямая $b$ также лежит в плоскости $\alpha$.