Question

ABCD равнобокая трапеция, в которой AC перпендикулярна CD, AB=BC=CD=1/2AD. Найдите углы этой трапеции

Answer 1

Ответ:

∠BAD = ∠CDA = 60°

∠DCB = ∠ABC = 120°

Объяснение:

ΔACD:  ∠ACD = 90°,  CD = 1/2 AD, значит этот катет лежит против угла в 30°, т.е. ∠CAD = 30°, значит

∠CDA = 90° - 30° = 60° (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)

Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны:

∠BAD = ∠CDA = 60°

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, значит

∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°

∠DCB = ∠ABC = 120° как углы при основании.

Answer 2

Давайте обозначим точку, где биссектрисы AD и BC пересекаются, как точку O. Так как ABCD - равнобокая трапеция, то AC и BD будут равными, и они будут пересекаться в точке O.

Также, так как AB = BC = CD и AD - это диагональ трапеции, то AO и BO будут равными половине длины AD. То есть:

AO = BO = 1/2 * AD.

Так как AC перпендикулярна CD и является биссектрисой, то угол ACO будет равен углу BCO, и оба они будут равны углу COD. Таким образом, углы ACO и BCO равны друг другу и равны углу COD.

Так как ABCD - равнобокая трапеция, то угол ACD равен углу BDC. Также, угол COD равен 180 градусов минус угол ACD и минус угол BDC.

Давайте обозначим угол ACD (и угол BDC) как α и угол COD как β.

Теперь у нас есть следующая система уравнений:

1. α + α + β = 180° (по свойству углов на прямой в треугольнике CDO).
2. α + β = 180° (так как угол ACO и угол BCO равны друг другу и равны углу COD).

Решим эту систему уравнений:

2α + β = 180° α + β = 180°

Вычитая второе уравнение из первого:

2α - α + β - β = 0 α = 0

Таким образом, угол ACD (и угол BDC) равен 0 градусов.

Теперь мы знаем, что углы ACO и BCO также равны 0 градусов.

Итак, углы этой равнобокой трапеции ABCD будут следующими:

1. Угол ACD (и угол BDC) = 0 градусов.
2. Угол ACO (и угол BCO) = 0 градусов.
3. Угол COD = β = 180 градусов - α - α = 180 градусов - 0 - 0 = 180 градусов.

Таким образом, угол COD равен 180 градусов, а остальные углы (ACO, BCO, ACD и BDC) равны 0 градусов.