Question

В равнобедренном треугольнике радиус окружности вписанной в треугольник равен R. Радиус окружности, касающейся основания и продолжения боковых сторон равен R. Найти стороны треугольника.

Answer 1

Ответ: b = 2√Rr; a = √Rr(R+r)/(R-r); ρ = 2Rr/(R-r).  

 

(R + r)² = (R - r)² + b²  

4Rr = b²  

 

R(2a - b) = r(2a + b) = ρb  

a = b(R+r)/2(R-r)

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренный треугольник следующим образом:

1. Пусть "a" будет длиной каждой из равных сторон треугольника.
2. Пусть "b" будет длиной основания треугольника.

Известно, что в равнобедренном треугольнике биссектриса угла, прилегающего к основанию, также является медианой, пересекающей основание треугольника. Поскольку вписанная окружность касается основания, биссектрисы и продолжения боковых сторон, можно сказать, что она является высотой треугольника.

Теперь у нас есть правильный треугольник, который можно разделить на два равнобедренных треугольника. Мы также знаем, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен R. Значит, высота треугольника равна 2R.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в одном из равнобедренных треугольников:

$(a/2)^2 + b^2 = (2R)^2$

Также, так как биссектриса делит треугольник на два равнобедренных треугольника, мы можем использовать теорему о биссектрисе для одного из них:

$(a/2)^2 + R^2 = a^2$

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными (a и b). Давайте решим ее.

1. $(a/2)^2 + b^2 = (2R)^2$
2. $(a/2)^2 + R^2 = a^2$

Выразим "a" из уравнения (2):

$(a/2)^2 = a^2 - R^2$ $a^2/4 = a^2 - R^2$ $a^2 - 4a^2 = -4R^2$ $-3a^2 = -4R^2$

Теперь найдем "a":

$a^2 = 4R^2/3$ $a = 2R/√3$

Теперь подставим значение "a" в уравнение (1):

$(2R/√3/2)^2 + b^2 = (2R)^2$ $(R/√3)^2 + b^2 = 4R^2$ $R^2/3 + b^2 = 4R^2$

Выразим "b":

$b^2 = 4R^2 - R^2/3$ $b^2 = (12R^2 - R^2)/3$ $b^2 = 11R^2/3$

$b = √(11R^2/3) = R√11/√3$

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника равны:

a = 2R/√3 b = R√11/√3