Question

В треугольнике ABC на стороне BC взята точка M таким образом, что расстояние от вершины B до центра тяжести треугольника AMC равно расстоянию от вершины C до центра тяжести треугольника AMB. Докажите, что BM=DC, где D - основание высоты, опущенной на BC из вершины A.

Answer 1

Да уж задачка не из легких попытаюсь все объяснить по шагам опустим из точки b и точки с медианы на сторону am в треугольниках bam и сам далее из точки a в этих же треугольниках опустим еще 2 медианы на стороны bm и mc тогда получим наши центры тяжести тк если обозначить пересечения тех медиан с am и обозначим ее o то по свойству медиан треугольника они делятся в равном отношении 2:1 тогда если q,r точки пересечения медиан то bq/qo=cr/ro=2:1 надеюсь понятно тогда треугольники orq и obc подобны по 2 пропорциональным сторонам и общему углу o между ними в тогда и соответственные углы при основаниях bc и rq равны а тогда bc параллельно rq то есть расстоянию между центрами тяжести тк br=сq по условию то тк bc парал rq то высоты опущенные из r и q на bc будут равны а тогда прям треугольники ,где w t основания этих высот треугольники qwc и rtb равны по гипотенузе и катету а тогда углы bcq и rbc равны в силу равенства этих треугольников а тогда треугольники bqc и rbc равны по 2 сторонам одна из которых общая и углу между ними а отсюда следует равенство сторон bq и rc и наконец вспомнив что наши треугольники qor и obc подобны то в силу равенства тех сторон следует равенство Bo и oc а тогда а тогда треугольник boc равнобедренный 2 часть напишу в комментарие а то уже место маловато

Answer 2

Для начала, давайте определим некоторые обозначения:

- Пусть точка M находится на стороне BC треугольника ABC. - Пусть G1 и G2 - центры тяжести треугольников AMC и AMB соответственно. - Пусть D - основание высоты, опущенной из вершины A на сторону BC треугольника ABC. - Пусть BM и DC - отрезки, которые мы хотим доказать равными.

Теперь мы можем перейти к решению задачи.

Доказательство:

1. Заметим, что центр тяжести треугольника - это точка пересечения медиан треугольника. То есть, G1 - это точка пересечения медиан треугольника AMC, а G2 - точка пересечения медиан треугольника AMB. 2. Из условия задачи, расстояние от вершины B до центра тяжести треугольника AMC равно расстоянию от вершины C до центра тяжести треугольника AMB. Это означает, что отрезки BG1 и CG2 равны между собой. 3. Теперь рассмотрим треугольник G1CG2. Поскольку отрезки BG1 и CG2 равны, а G1 и G2 - центры тяжести треугольников, то отрезок G1G2 является медианой треугольника G1CG2. 4. Так как G1 и G2 - центры тяжести треугольников AMC и AMB соответственно, то отрезок G1G2 также является медианой треугольника ABC. 5. Отрезок G1G2 делит медиану AD в соотношении 2:1, где G1 - ближайшая к вершине A точка на медиане AD, а G2 - ближайшая к основанию BC точка на медиане AD. 6. Теперь обратим внимание на треугольник G1DG2. Поскольку G1G2 делит медиану AD в соотношении 2:1, то отрезок DG2 также делит высоту AD треугольника ABC в таком же соотношении 2:1. 7. Следовательно, отрезок DG2 является высотой треугольника ABC, опущенной на сторону BC. 8. Так как треугольник ABC является прямоугольным и AD - его высота, опущенная на сторону BC, то отрезок DG2 будет также являться высотой треугольника ABC, опущенной на сторону BC из вершины A. 9. Из определения высоты треугольника следует, что отрезок BM перпендикулярен к стороне AC, а отрезок DC перпендикулярен к стороне AB. 10. Так как BM и DC перпендикулярны к различным сторонам треугольника ABC из одной и той же вершины A, то они должны быть равными (по свойству перпендикуляра, проведенного из одной точки к различным сторонам треугольника).

Таким образом, мы доказали, что BM=DC.