Question

Основание пирамиды SABCD - прямоугольник ABCD. Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания. а) Докажите, что прямые SC и AD перпендикулярны. б) Пусть M - середина высоты пирамиды. Найдите расстояние от точки B до плоскости ACM, если AB = 8, BC = 6, а синус угла между плоскостью ACM и плоскостью основания пирамиды равен 5/6.

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Объяснение:

Answer 2

а) Для доказательства того, что прямые SC и AD перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойством пирамиды и её высоты. Поскольку ребро SD перпендикулярно плоскости основания ABCD и проходит через вершину S, оно также будет являться высотой пирамиды SABCD. Высота пирамиды перпендикулярна к основанию. Таким образом, SC и AD перпендикулярны.

б) Для нахождения расстояния от точки B до плоскости ACM, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

Расстояние = |AX| / |N|,

где:

• AX - вектор, направленный от точки B до плоскости ACM.
• N - единичный нормальный вектор к плоскости ACM.

Для начала найдем вектор AX. Он будет направлен от точки B до любой точки X в плоскости ACM. Давайте представим этот вектор как сумму двух векторов: BX и XA.

BX - это вектор, направленный от точки B до середины плоскости ABCD. Поскольку M - середина высоты пирамиды, BX будет равен половине высоты пирамиды:

BX = (1/2) * |SD|,

где |SD| - длина ребра SD.

XA - это вектор, направленный от середины плоскости ABCD (точки M) до точки X в плоскости ACM. Этот вектор будет перпендикулярен плоскости ACM и будет направлен вдоль её нормали.

Теперь найдем длину вектора BX. Для этого нам нужно знать длины рёбер пирамиды. Из условия известно, что AB = 8 и BC = 6.

Из подобия треугольников SBC и ABC (так как SC перпендикулярно плоскости ABCD):

|SB| / |AB| = |BC| / |AC|,

|SB| = (|AB| * |BC|) / |AC| = (8 * 6) / |AC| = 48 / |AC|.

Теперь, чтобы найти длину |AC|, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике ABC:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2, |AC|^2 = 8^2 + 6^2, |AC|^2 = 64 + 36, |AC|^2 = 100, |AC| = 10.

Теперь у нас есть длина ребра AC. Мы также знаем, что синус угла между плоскостью ACM и плоскостью основания пирамиды равен 5/6.

Синус угла можно найти, используя следующее соотношение:

sin(угол) = |XA| / |AC|.

Подставляем известные значения:

5/6 = |XA| / 10.

Теперь находим длину вектора XA:

|XA| = (5/6) * 10 = 50/6 = 25/3.

Теперь у нас есть длины векторов BX и XA. Мы можем найти расстояние от точки B до плоскости ACM, используя формулу:

Расстояние = |AX| / |N|,

где |AX| = 25/3 и |N| - длина нормального вектора к плоскости ACM.

Поскольку нормальный вектор перпендикулярен плоскости ACM, он будет совпадать с вектором SC, который мы уже знаем. Таким образом, |N| = |SC|.

Теперь мы можем вычислить расстояние:

Расстояние = (25/3) / |SC|.

Мы уже рассчитывали длину вектора SB:

|SB| = 48 / |AC| = 48 / 10 = 4.8.

Так как |SC| - это высота пирамиды, а SB - это половина высоты пирамиды, то |SC| = 2 * |SB| = 2 * 4.8 = 9.6.

Теперь мы можем найти расстояние:

Расстояние = (25/3) / 9.6 = (25/3) * (1/9.6) = (25/3) * (10/96) = (25/3) * (5/48) = (125/48).

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости ACM равно 125/48.