Question

III уровень 3 Наклонная АВ составляет с плоскостью Оугол 45 градусов. Найдите ее проекцию на эту плоскость,если длина наклонной равна 8 см.​

Answer 1

Ответ:

4√2 см

Объяснение:

Имеем прямоугольный треугольник АОВ, где АВ=8 см, ∠В=45°. Найти ОВ.

Если ∠В=45°, то и ∠А=45°, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°.

Значит, ΔАОВ - равнобедренный, АО=ВО.

Пусть АО=ВО=х см, тогда по теореме Пифагора

АВ²=х²+х²

АВ²=2х²

64=2х²

х²=32

х=√32=4√2

ОВ=4√2 см

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти проекцию вектора $\mathbf{AB}$ на плоскость $O$. Проекция вектора на плоскость можно найти с помощью скалярного произведения.

Формула для проекции вектора $\mathbf{AB}$ на плоскость $O$ выглядит следующим образом:

$\mathbf{P} = \frac{{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{N})}}{{|\mathbf{N}|}} \cdot \frac{{\mathbf{N}}}{{|\mathbf{N}|}}$

где:

• $\mathbf{AB}$ - вектор, который мы проецируем (в данном случае, наклонная $AB$).
• $\mathbf{N}$ - единичный вектор, нормальный к плоскости $O$.

В данной задаче нам известен угол между наклонной и плоскостью $O$, который равен 45 градусов. Так как $\mathbf{N}$ - единичный вектор, он имеет длину 1.

$|\mathbf{N}| = 1$

Теперь нам нужно найти скалярное произведение $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{N}$. Длина наклонной $AB$ равна 8 см, следовательно, вектор $\mathbf{AB}$ имеет длину 8 см.

$|\mathbf{AB}| = 8 \, \text{см}$

Теперь можем найти скалярное произведение:

$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{N} = |\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{N}| \cdot \cos(\theta) = 8 \, \text{см} \cdot 1 \cdot \cos(45^\circ)$

$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{N} = 8 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{см}$

Теперь можем найти проекцию $\mathbf{P}$:

$\mathbf{P} = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{N}}}{{|\mathbf{N}|}} \cdot \mathbf{N} = 4\sqrt{2} \, \text{см} \cdot \mathbf{N}$

Так как $\mathbf{N}$ - единичный вектор, то $\mathbf{N} = \begin{bmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{{\sqrt{2}}}{2} \\ \frac{{\sqrt{2}}}{2} \end{bmatrix}$.

$\mathbf{P} = 4\sqrt{2} \, \text{см} \cdot \begin{bmatrix} \frac{{\sqrt{2}}}{2} \\ \frac{{\sqrt{2}}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix} \, \text{см}$

Итак, проекция наклонной $AB$ на плоскость $O$ равна $\begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}$ см.