Question

катеты прямоугольного треугольника относятся как 5:12. вычислите периметр треугольника если разность радиусов описанной и вписанной окружностей равна 9см

Answer 1

Пусть коэффициент пропорциональности равен х, тогда катеты

a = 5х и b = 12x, тогда по теореме Пифагора, гипотенуза

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25x^2+144x^2}=13x$

Из условия

$R-r=9~~~\Rightarrow~~~\dfrac{c}{2}-\dfrac{a+b-c}{2}=9\\ \\ \dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}-\dfrac{a+b}{2}=9\\ \\ c-\dfrac{a+b}{2}=9~~~~\Rightarrow~~~ 13x-\dfrac{5x+12x}{2}=9\bigg|\cdot 2\\ \\ 26x-17x=18\\ \\ 9x=18\\ \\ x=2$

Значит, a = 10 см, b = 24 см и c = 26 см. Тогда периметр треугольника : P = a + b + c = 10 + 24 + 26 = 60 см

Ответ: 60 см.

Answer 2

Для начала, давайте обозначим длину катетов прямоугольного треугольника. Пусть один катет равен 5x см, а другой - 12x см.

Теперь мы можем найти гипотенузу прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора: Гипотенуза^2 = (один катет)^2 + (другой катет)^2 Гипотенуза^2 = (5x)^2 + (12x)^2 Гипотенуза^2 = 25x^2 + 144x^2 Гипотенуза^2 = 169x^2

Гипотенуза = √(169x^2) = 13x см

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, мы сложим длины всех его сторон: Периметр = один катет + другой катет + гипотенуза Периметр = 5x + 12x + 13x Периметр = 30x см

Теперь мы знаем, что периметр треугольника равен 30x см.

Далее, разность радиусов описанной (R) и вписанной (r) окружностей треугольника равна 9 см, что можно записать в виде уравнения: R - r = 9 см

Теперь давайте воспользуемся формулами для радиусов описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника:

1. Радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы: R = Гипотенуза / 2 R = (13x) / 2

2. Радиус вписанной окружности (r) можно найти, используя формулу: r = (периметр треугольника) / (2 + гипотенуза) r = 30x / (2 + 13x)

Теперь мы можем составить уравнение, используя разность радиусов: (13x / 2) - (30x / (2 + 13x)) = 9

Далее, решим это уравнение для x.

Сначала умножим оба члена уравнения на 2(2 + 13x), чтобы избавиться от знаменателей: 13x(2 + 13x) - 30x(2) = 18 + 117x

Теперь распределим слагаемые и сгруппируем их: 26x^2 + 169x - 60x - 18 - 117x = 0

Далее, упростим уравнение: 26x^2 + 52x - 18 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Используйте квадратное уравнение для вычисления x. После нахождения x, вы сможете найти периметр треугольника, подставив его значение в уравнение периметра, которое мы получили ранее.