Question

Сторона BC треугольника ABC равна 48. Около треугольника описана окружность радиуса 25. Известно, что радиус OA делит сторону BC на два равных отрезка. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите его боковые стороны

Answer 1

а) ВО = СО - как радиусы окружности ⇒ ΔВОС - равнобедренный

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой ⇒ АМ - серединный перпендикуляр, поэтому ΔАВС - равнобедренный, ч.т.д.

б) В ΔОМС: ОМ² = СО² - МС² = 25² - 24² = 1•49 ⇒ ОМ = 7

В ΔАМС: АС² = АМ² + МС² = (25 + 7)² + 24² = 8²•(4² + 3²) = 40² ⇒

АВ = АС = 40

Ответ: б) 40

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберем ее на две части: сначала докажем, что треугольник ABC равнобедренный, а затем найдем длины его боковых сторон.

а) Докажем, что треугольник ABC равнобедренный:

Мы знаем, что радиус OA делит сторону BC на два равных отрезка. Пусть точка M - середина стороны BC, а точка N - точка касания окружности с продолжением стороны BC (см. рисунок).

cssCopy code
         A
         |
         |
         |
     O---M---N
         |
         |
         |
         B---C

Поскольку OA - радиус окружности, а ON - радиус окружности, то они равны между собой: OA = ON = 25. Также, по определению середины отрезка, BM = MC.

Теперь рассмотрим треугольники OBN и OCM. Они равны по двум сторонам (ON = OM и OB = OC радиусы окружности), и угол BON равен углу COM (поскольку они соответственные вертикальные углы). Поэтому эти треугольники равны по стороне-угол-стороне (СУС). Следовательно, угол OBN равен углу OCM.

Теперь рассмотрим треугольники OAM и OCM. Они равны по двум сторонам (OA = OC и AM = MC, так как M - середина BC), и угол OAM равен углу OCM (по результату, полученному выше).

Из этих двух равенств следует, что угол OBN равен углу OAM. Теперь мы имеем два равных треугольника OBN и OAM с равными углами BNO и AMO, а значит, эти углы тоже равны между собой. То есть, углы ABC и ACB равны, что и означает, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдем длины боковых сторон треугольника ABC.

Мы знаем, что радиус окружности равен 25 и он перпендикулярен стороне BC в точке N. Поэтому N - середина стороны BC, и BN = NC = 24 (половина стороны BC).

Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике OBN, мы можем найти длину стороны OB (и, следовательно, AC):

OB^2 = ON^2 + BN^2 OB^2 = 25^2 + 24^2 OB^2 = 625 + 576 OB^2 = 1201

OB = √1201 ≈ 34.67

Итак, длина боковой стороны треугольника ABC (AC) также примерно равна 34.67.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC равнобедренный, и нашли длины его боковых сторон: BC = 48, AC ≈ 34.67, и AB ≈ 34.67.