Question

В прямоугольном треугольнике радиус вписанного круга равен r, острый угол треугольника равен а. Найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, в котором известен радиус вписанного круга (r) и острый угол (α), мы можем воспользоваться следующими формулами:

Площадь треугольника (S) = полупериметр (p) * радиус вписанной окружности (r).

Полупериметр треугольника (p) можно найти как сумму длин всех его сторон, поделенную на 2:

p = (a + b + c) / 2,

где a - длина одного катета, b - длина другого катета, и c - длина гипотенузы.

Для прямоугольного треугольника известно, что:

a = α, b = β, где β - дополнительный острый угол (β = 90° - α), c - гипотенуза.

Теперь мы можем найти длины сторон a, b и c. С учетом того, что sin(α) = a/c, получаем:

a = c * sin(α),

и также:

b = c * sin(β).

Так как β = 90° - α, то sin(β) = sin(90° - α) = cos(α), поэтому:

b = c * cos(α).

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, имеем:

c^2 = a^2 + b^2.

Подставляя выражения для a и b, получаем:

c^2 = (c * sin(α))^2 + (c * cos(α))^2.

Раскрывая скобки и упрощая:

c^2 = c^2 * (sin^2(α) + cos^2(α)).

Замечаем, что sin^2(α) + cos^2(α) = 1 (тождество тригонометрии), поэтому:

c^2 = c^2 * 1,

или просто:

c^2 = c^2.

Таким образом, длина гипотенузы c остается неизменной и равна c.

Теперь мы можем найти полупериметр p:

p = (a + b + c) / 2 = (c * sin(α) + c * cos(α) + c) / 2 = c * (sin(α) + cos(α) + 1) / 2.

Теперь мы можем найти площадь треугольника S:

S = p * r = (c * (sin(α) + cos(α) + 1) / 2) * r.

Это и есть площадь прямоугольного треугольника с заданным радиусом вписанной окружности и острым углом α.