Question

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, найдите скалярное произведение HQ→⋅QC→, где H и Q — середины ребер AC и BD соответственно.

Answer 1

В заданном правильном тетраэдре все рёбра равны 1.

Находим QH = √(BH² - BQ²) = √((3/4) - (1/4)) = 1/√2.

QC = BC*sin 60° = √3/2.

cos(HQC) = QH/QC = (1/√2)/(√3/2) = √(2/3).

Так как угол между векторами HQ/QC тупой, то косинус его равен косинусу угла HQC со знаком минус.

Получаем ответ.

Скалярное произведение HQ→⋅QC→ равно:

(1/√2)*(√3/2)*(-√2/√3) = -1/2.

Answer 2

Для нахождения скалярного произведения векторов HQ→ и QC→, нам нужно выразить эти векторы и затем найти их скалярное произведение.

Поскольку H и Q - середины рёбер AC и BD соответственно, вектор HQ→ можно выразить как половину вектора AC→:

HQ→ = 1/2 * AC→

Теперь нам нужно выразить вектор AC→. Для этого мы можем воспользоваться свойствами правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре все рёбра равны между собой, и углы между рёбрами одинаковы.

Поскольку ребро тетраэдра ABCD равно 1, длина вектора AC→ будет равна длине стороны треугольника ACD (который является правильным равносторонним треугольником). Длина стороны равностороннего треугольника можно выразить с помощью его высоты, которая проходит через его вершину и делит его на два равнобедренных треугольника. Высота равностороннего треугольника равна (sqrt(3)/2) * длина стороны. В нашем случае, длина стороны равна 1, поэтому высота треугольника ACD равна (sqrt(3)/2) * 1 = sqrt(3)/2.

Теперь мы можем выразить вектор AC→:

AC→ = sqrt(3)/2 * AD→

Теперь мы можем выразить вектор HQ→:

HQ→ = 1/2 * AC→ HQ→ = 1/2 * (sqrt(3)/2) * AD→ HQ→ = (sqrt(3)/4) * AD→

Теперь, чтобы найти скалярное произведение HQ→ и QC→, нам нужно умножить их компоненты вдоль одного направления:

Скалярное произведение HQ→ и QC→ равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними. Однако векторы HQ→ и QC→ лежат на одной прямой, поэтому косинус угла между ними равен 1 (угол между ними равен 0 градусов).

Теперь мы можем найти скалярное произведение:

HQ→⋅QC→ = |HQ→| * |QC→| * cos(0°) HQ→⋅QC→ = |HQ→| * |QC→| * 1

Так как |HQ→| и |QC→| - это длины векторов HQ→ и QC→ соответственно, и мы знаем, что длина ребра тетраэдра ABCD равна 1, то:

|HQ→| = |QC→| = (sqrt(3)/4) * 1 = sqrt(3)/4

Теперь мы можем найти скалярное произведение:

HQ→⋅QC→ = |HQ→| * |QC→| * 1 HQ→⋅QC→ = (sqrt(3)/4) * (sqrt(3)/4) * 1 HQ→⋅QC→ = (3/16) * 1 HQ→⋅QC→ = 3/16

Итак, скалярное произведение векторов HQ→ и QC→ равно 3/16.