Question

Решить координатным методом: В правильном тетраэдре ABCD точки М и Р - середины ребер AD и CD соответственно, точки N и Q - центры граней BCD и ABC соответственно. Найти угол между прямыми MN и PQ

Answer 1

Для решения данной задачи координатным методом, нам потребуется определить координаты вершин тетраэдра a, b, c, d, а затем найти координаты точек М, Р, n, q.

Пусть вершины тетраэдра a, b, c, d имеют следующие координаты: a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂), c = (x₃, y₃, z₃), d = (x₄, y₄, z₄).

Так как точка М - середина ребра ad, то ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат вершин a и d: М = ((x₁ + x₄)/2, (y₁ + y₄)/2, (z₁ + z₄)/2).

Аналогично для точки Р - середины ребра cd: Р = ((x₃ + x₄)/2, (y₃ + y₄)/2, (z₃ + z₄)/2).

Теперь найдем координаты центра грани bcd - точку n. Для этого как и в предыдущих случаях найдем среднее арифметическое координат вершин b, c и d: n = ((x₂ + x₃ + x₄)/3, (y₂ + y₃ + y₄)/3, (z₂ + z₃ + z₄)/3).

Аналогично для точки q - центра грани abc: q = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3, (z₁ + z₂ + z₃)/3).

Найдем уравнение прямой mn: (x - xₘ)/(xₙ - xₘ) = (y - yₘ)/(yₙ - yₘ) = (z - zₘ)/(zₙ - zₘ).

Аналогично для прямой pq: (x - x_p)/(xₚ - x_p) = (y - y_p)/(yₚ - y_p) = (z - z_p)/(zₚ - z_p).

Теперь, чтобы найти угол между прямыми mn и pq, можно воспользоваться формулой: cos(угла) = (a * b)/(||a|| * ||b||),

где а = (xₙ - xₘ, yₙ - yₘ, zₙ - zₘ) - направляющий вектор прямой mn, b = (xₚ - x_p, yₚ - y_p, zₚ - z_p) - направляющий вектор прямой pq.

Таким образом, найдя координаты всех заданных точек и направляющие векторы прямых, мы сможем вычислить угол между прямыми mn и pq.