Question

Дано точки : A(1;1), B(1;2), C(-2;2), D(-3;1). Знайдіть кут між векторами AB і CD

Answer 1

Знайдемо координати векторів $\overline{AB}$ і $\overline{CD}$:

$\overline{AB}=(1-1;2-1)=(0;1)\\\overline{CD}=(-3-(-2);1-2)=(-1;-1)$

Знайдемо їхні довжини (модулі):

$|\overline{AB}|=\sqrt{0^2+1^2}=1\\|\overline{CD}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

Знайдемо їхній скалярний добуток через координати:

$\overline{AB} \cdot \overline{CD}=0 \cdot (-1)+1 \cdot (-1)=-1$

Тепер підставимо відомі значення в іншу формулу скалярного добутку, щоб знайти косинус кута (позначимо його $\varphi$):

$\overline{AB} \cdot \overline{CD}=|\overline{AB}| \cdot| \overline{CD}| \cdot \cos \varphi=-1\\1 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \varphi = -1\\\cos \varphi=-\dfrac{1}{\sqrt 2}=-\dfrac{\sqrt 2}{2}\\\varphi=\dfrac{3 \pi}{4}$

Answer 2

Щоб знайти кут між векторами AB і CD, спершу треба знайти ці вектори, а потім використовувати формулу для обчислення кута між ними.

1. Знайдемо вектор AB, віднімаючи координати точки A від координат точки B: AB = (1 - 1, 2 - 1) = (0, 1).

2. Знайдемо вектор CD, віднімаючи координати точки C від координат точки D: CD = (-3 - (-2), 1 - 2) = (-1, -1).

Тепер ми маємо два вектори: AB = (0, 1) і CD = (-1, -1).

Тепер використаємо формулу для обчислення кута між двома векторами:

$$\cos(\theta) = \frac{AB \cdot CD}{\|AB\| \cdot \|CD\|}$$

Де:

• AB ⋅ CD - скалярний добуток векторів AB і CD,
• |AB| - довжина вектора AB (норма вектора AB),
• |CD| - довжина вектора CD (норма вектора CD).

Спочатку знайдемо скалярний добуток AB і CD: AB ⋅ CD = (0 * -1) + (1 * -1) = 0 - 1 = -1.

Тепер знайдемо довжини векторів AB і CD:

$$\|AB\| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1,$$

$$\|CD\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}. Тепер підставимо ці значення у формулу для кута між векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{1 \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Тепер знайдемо кут theta за допомогою оберненого косинуса:

$$\theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$

За допомогою калькулятора обчисліть це значення. Отримаємо приблизно:

$$\theta ≈ 135°.$$

Отже, кут між векторами AB і CD приблизно дорівнює 135 градусів.