Question

Доведіть рівність прямокутних трикутників за гострим кутом і висотою проведеною до гіпотези.

Answer 1

Ответ:дано АВС и А1В1С1

В=В1=90

А=А1

ВН перпенд АС

В1Н1 перпенд А1С1

ВН=В1Н1

доказать АВС=А1В1С1

док-во

очевидно, что углы с=с1

значит, треугольники подобны. Соответственно, подобны все величины, в том числе и соответствующие высоты. Но так как высоты равны, то коэфф. подобия равен 1 , соответственно все стороны подобны с коэфф. 1, т.е. равны. Отсюда, треугольники равны.

Можно докавзать чуть по-другому, но там дольше. Т.е. высоты разбивают на два треуг, потом в каждом треуг. сторона и углы равны, значит другие стороны равны. И т.д. и т.п. итог- треуг равны

Answer 2

Розглянемо прямокутний трикутник ABC з прямим кутом у вершині C. Нехай H - це точка дотику висоти, проведеної з вершини C до гіпотенузи AB.

Обозначимо сторони трикутника так:

• AB - гіпотенуза (протилежна до прямого кута, довжиною c),
• BC - прилегла сторона до кута C (довжиною a),
• AC - протилежна сторона до кута C (довжиною b).

Нехай h - це висота, проведена з вершини C до гіпотенузи AB. Тоді ми маємо:

1. Схожість трикутників: За схожістю трикутників маємо співвідношення між довжинами відповідних сторін:

   $$\frac{AH}{AB} = \frac{BH}{BC} = \frac{CH}{AC}$$

2. Пов'язаність висоти з схожістю: Враховуючи схожість трикутників, можна виразити довжину висоти h через відомі довжини сторін та довжину висоти H:

   $$\frac{AH}{AB} = \frac{CH}{AC} \Rightarrow AH = \frac{AB \cdot CH}{AC} = \frac{c \cdot H}{b}$$

3. Виразимо висоту H через відомі довжини: Враховуючи прямокутність трикутника, ми знаємо, що площа трикутника ABC може бути виражена двома способами: за допомогою півпериметра та радіусу вписаного кола, або через добуток двох катетів:

   $$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot H = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot H$$

   Поділимо обидві сторони на 1/2H:

   $$AB = a + b = c \Rightarrow c = a + b$$

4. Доведемо рівність прямокутних трикутників: Розглянемо прямокутний трикутник ABC і його висоту H, проведену до гіпотенузи AB.

   З попереднього кроку ми вже мали: $c = a + b$.

   Також, за схожістю трикутників ми знаємо, що $\frac{c}{a} = \frac{a}{H}$, тому $c = \frac{a^2}{H}$.

   Об'єднаємо обидві вирази для c:

   $$\frac{a^2}{H} = a + b \Rightarrow a^2 = aH + bH \Rightarrow a^2 - aH - bH = 0$$

   Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно H, маємо:

   $$H = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}$$

   Якщо врахувати, що H - це додатне число (оскільки висота не може бути від'ємною), то ми обираємо додатній корінь:

   $$H = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}$$

Отже, ми довели рівність прямокутних трикутників, де висота H проведена до гіпотенузи.