Question

У прямокутний трикутник зі сторонами АВ = 10 см , АС = 8 см і ВС = 6 см вписано коло . MN – дотична до кола , проведена паралельно до сторони ВС ( М є АВ і N є АС ) . Знайдіть периметр трикутника АМN .

Answer 1

MN проходит на расстоянии диаметра от катета СВ.

Δ АMN подобен Δ АВС по острому углу.

CN=D=a+b-c=8+6-10=4 см

AN/AC=MN/CB

4/8=MN/6

MN=3 cм  -  это ответ.

Answer 2

Спершу знайдемо радіус вписаного кола в прямокутний трикутник ABC. Радіус вписаного кола можна знайти за допомогою півпериметра трикутника (p) і площі трикутника (S) за такою формулою:

$r = \frac{S}{p},$

де $p$ - півпериметр трикутника, $S$ - площа трикутника.

Спершу знайдемо півпериметр трикутника ABC:

$p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 см + 8 см + 6 см}{2} = 12 см.$

Тепер знайдемо площу трикутника ABC за формулою Герона:

$S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}$ $S = \sqrt{12 см \cdot (12 см - 10 см) \cdot (12 см - 8 см) \cdot (12 см - 6 см)}$ $S = \sqrt{12 см \cdot 2 см \cdot 4 см \cdot 6 см} = \sqrt{576 см^4} = 24 см^2.$

Тепер можемо знайти радіус вписаного кола:

$r = \frac{S}{p} = \frac{24 см^2}{12 см} = 2 см.$

Так як MN – дотична до кола, проведена паралельно до сторони ВС, то відомо, що AM і AN є радіусами цього кола і перпендикулярні до MN.

Таким чином, AM і AN дорівнюють радіусу кола, тобто 2 см.

Тепер ми маємо прямокутний трикутник AMN, де AM = 2 см, AN = 2 см, і MN = BC = 6 см.

Знайдемо тепер периметр трикутника AMN:

$P_{AMN} = AM + AN + MN = 2 см + 2 см + 6 см = 10 см.$

Отже, периметр трикутника AMN дорівнює 10 см.