Question

Найти угол при вершине В в треугольнике с вершинами А(14; – 13), В(16; – 14) и С(17; – 17)

Answer 1

Даны  координаты вершин треугольника    

Точка А  Точка В  Точка С  

х у        х у               х у

14 -13         16 -14                17 -17 .

Найти угол треугольника можно двумя способами - геометрическим по теореме косинусов или векторным. Примем первый способ.

Находим длины сторон.

AB (c) = √((xB-xA)² + (yB-yA)²) =   √5 ≈ 2,236067977

BC (a) = √((xC-xB)² + (yC-yB)²) =   √10 ≈ 3,16227766

AC (b) = √((xC-xA)² + (yC-yA)²) =   √25 = 5 .

cos B = (10 + 5 - 25)/(2*√10*√5) = -10/(10√2) = -1/√2 = -√2/2.

Ответ: угол В равен 135 градусов.

Answer 2

Чтобы найти угол при вершине $B$ в треугольнике с заданными вершинами $A(14, -13)$, $B(16, -14)$ и $C(17, -17)$, мы можем воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя векторами в декартовой системе координат. Эта формула определяется следующим образом:

$$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC}}{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{BC}\|}$$

Где $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{BC}$ - это векторы, соединяющие вершины $A$ и $B$, а также вершины $B$ и $C$ соответственно, а $\theta$ - это угол между этими векторами.

Сначала найдем векторы $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{BC}$:

$$\mathbf{AB} = \langle 16 - 14, -14 - (-13) \rangle = \langle 2, -1 \rangle$$

$$\mathbf{BC} = \langle 17 - 16, -17 - (-14) \rangle = \langle 1, -3 \rangle$$

Теперь найдем их скалярное произведение:

$$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) = 5$$

Теперь найдем длины векторов $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{BC}$:

$$\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$$

$$\|\mathbf{BC}\| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$$

Теперь подставим все значения в формулу для $\cos(\theta)$:

$$\cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Искомый угол $\theta$ равен $\frac{\pi}{4}$ радиан или 45 градусов.