Question

Стороны треугольника ABC равны AB=5, BC=10, AC=7. В вершине C находится масса 10. Какие массы нужно поместить в вершины A и B, чтобы центр масс попал в точку пересечения биссектрис треугольника ABC? В точку A необходимо поместить массу В точку B необходимо поместить массу

Answer 1

Ответ:

mA =20 ед. mB = 14 ед.

Объяснение:

Теорема о группировке масс:  "Если часть материальных точек заменить точкой, расположенной в их центре масс  и имеющей ненулевую массу, равную сумме масс этих точек, то центр масс всех точек не изменится".

По условию, для каждой стороны центр масс ДОЛЖЕН находиться в точке, в которой биссектриса противолежащего угла пересекает эту сторону.

АК/КС =1/2 (свойство биссектрис). => АК = 7/3. KC = 14/3.

ВР/РС =5/7 (свойство биссектрис). => ВР = 5/12. KC = 7/12.

Для обеспечения равновесия массы в точках А и С ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ длинам рычагов, то есть  

mA·AK = 10·KC  =>  mA = 10·(14/3)/(7/3) = 20 ед.

Аналогично, mB·BP = 10·PC  =>  mB= 10·(7/12)/(5/12) = 14 ед.

Проверим: mB·BM = mA·AM  =>  20= 14·(50/17)/(35/17) ?

20 = 20.

Answer 2

Для того чтобы центр масс треугольника ABC совпал с точкой пересечения биссектрис, сначала определим координаты центра масс треугольника ABC. Затем мы сможем рассчитать массы, которые необходимо поместить в вершины A и B.

Центр масс треугольника находится в точке, координаты которой можно вычислить как среднее арифметическое координат вершин треугольника. Если вершины треугольника ABC имеют координаты A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то координаты центра масс (Cx, Cy) можно вычислить следующим образом:

Cx = (x1 + x2 + x3) / 3 Cy = (y1 + y2 + y3) / 3

В данном случае мы имеем треугольник ABC с вершинами A, B и C, где A(0, 0), B(10, 0) и C(5, 7).

Cx = (0 + 10 + 5) / 3 = 15 / 3 = 5 Cy = (0 + 0 + 7) / 3 = 7 / 3

Таким образом, координаты центра масс треугольника ABC равны (5, 7/3).

Теперь нам нужно найти массы, которые нужно поместить в вершины A и B, чтобы центр масс попал в эту точку. Обозначим массу в вершине A как Ma и массу в вершине B как Mb.

Массовый центр двух точек можно найти следующим образом:

Cx = (Ma * x1 + Mb * x2) / (Ma + Mb) Cy = (Ma * y1 + Mb * y2) / (Ma + Mb)

Теперь мы можем подставить значения координат центра масс и вершин A и B:

5 = (Ma * 0 + Mb * 10) / (Ma + Mb) 7/3 = (Ma * 0 + Mb * 0) / (Ma + Mb)

Из второго уравнения видно, что масса в точке B должна быть равной нулю, так как y2 = 0 и в знаменателе Ma + Mb не может быть нулем.

Теперь у нас остается только одно уравнение:

5 = (Ma * 0 + Mb * 10) / (Ma + Mb)

5 = (10Mb) / (Ma + Mb)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно Ma:

5(Ma + Mb) = 10Mb

5Ma + 5Mb = 10Mb

5Ma = 5Mb

Ma = Mb

Это означает, что массы в вершинах A и B должны быть равными, чтобы центр масс попал в точку пересечения биссектрис треугольника ABC.