Question

hELp Найти скалярное произведение векторов AK̅̅̅̅ и BL̅̅̅̅, если AK и BL − медианы равнобедренного треугольника ABC, площадь которого равна S, а угол ∠ А = 120°.

Answer 1

Найти скалярное произведение векторов AK̅̅̅̅ и BL̅̅̅̅, если AK и BL − медианы равнобедренного треугольника ABC, площадь которого равна S, а угол ∠ А = 120°.

Объяснение:

1) ΔАВС-равнобедренный , ∠А =120°, АС=АВ=х ,∠В=∠С=(180°-120°):2=30°  . Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. По условию она S.

S=1/2*х*х*sin120 ⇒  х²= 2S: $\frac{\sqrt{3} }{2} =\frac{4S}{\sqrt{3} }$ . х= $\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3} } }$ .

По т. синусов   $\frac{BC}{sin120} =\frac{AC}{sin30}$   ,  $BC=\frac{AC*sin120}{sin3} =\frac{\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3} } }*\frac{\sqrt{3} }{2} }{\frac{1}{2} }$  , BC=$\sqrt{S*\sqrt{3} }$ .

2) Используя правила сложения векторов :

вектор АК=0,5(АВ+АС), вектор ВL=0,5(ВА+ВС).   Тогда

Векторы АК*ВL=0,25(АВ*ВА +АВ*ВС +АС*ВА +АС*ВС) .

Посчитаем каждое скалярное произведение

Вектора АВ*ВА=|АВ|*|ВА|*cos180=(4S/√3)*(-1)=$\frac{-4S}{\sqrt{3} }$

Вектора АВ*ВC=|АВ|*|ВC|*cos150=$\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3} } }*\sqrt{S\sqrt{3} }=2S$

Вектора АС*ВА=|АС|*|ВА|*cos60=$\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3} } }*\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3} } }*\frac{1}{2} =\frac{2S}{\sqrt{3} }$

Вектора АC*ВС=|АC|*|ВС|*cos30= $\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3} }}$ *$\sqrt{S\sqrt{3} }$ *$\frac{\sqrt{3} }{2}$ =S√3 .

Для определения угла между векторами, вектора переносились для совмещения начал векторов.Использовались свойства углов параллелограмма, смежных углов ( см. чертеж)

АК*ВL=0,25*S( $\frac{-4}{\sqrt{3} }+2+\frac{2}{\sqrt{3} } +\sqrt{3}$ ) =$\frac{1}{4} *S*\frac{1+2\sqrt{3} }{3} =$ $S*\frac{1+2\sqrt{3} }{12}$ .

Answer 2

Для нахождения скалярного произведения векторов $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{BL}$, нам нужно знать координаты этих векторов и применить определение скалярного произведения.

Мы знаем, что угол $\angle A$ равен 120 градусам. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол $\angle B$ также равен 120 градусам. Таким образом, угол между медианами AK и BL составляет 120 градусов.

Теперь нам нужно знать длины медиан AK и BL. В равнобедренном треугольнике медианы пересекаются в точке, деля каждую из них на две равные части. Это означает, что точка пересечения медиан является центром симметрии треугольника, и она делит медианы пополам.

Поскольку у нас нет конкретных численных данных о длинах сторон или координатах точек, нам трудно выразить длины медиан в виде численных значений. Однако мы можем предположить, что медианы пропорциональны сторонам треугольника. Таким образом, длина медианы AK может быть выражена как $m \cdot a$, а длина медианы BL как $m \cdot b$, где $m$ - некоторый коэффициент пропорциональности, $a$ и $b$ - длины сторон треугольника.

Итак, мы имеем два вектора:

$\overrightarrow{AK} = m \cdot a$ $\overrightarrow{BL} = m \cdot b$

Теперь мы можем найти скалярное произведение:

$\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BL} = (m \cdot a) \cdot (m \cdot b) = m^2 \cdot a \cdot b$

Теперь, если у нас есть площадь треугольника $S$, мы можем воспользоваться формулой для площади равнобедренного треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

где $h$ - высота треугольника. В данном случае, $h$ является высотой, проведенной из вершины угла $\angle A$, и она также является медианой.

Теперь мы можем выразить $h$ как:

$h = \frac{2S}{a}$

Теперь мы можем подставить это значение в наше скалярное произведение:

$\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BL} = m^2 \cdot a \cdot b = m^2 \cdot a \cdot \frac{2S}{a} = 2m^2S$

Итак, скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{BL}$ равно $2m^2S$.

Обратите внимание, что для того чтобы найти точное числовое значение скалярного произведения, нам нужно знать конкретное значение $m$ и площадь $S$, а также длины сторон треугольника $a$ и $b$. Без этих данных мы не можем найти точный ответ.