Question

Дан выпуклый четырехугольник ABCD площади S и точка M внутри его. Точки P, Q, R, S симметричны точке M относительно середин сторон четырехугольника ABCD. Найти площадь четырехугольника PQRS

Answer 1

X - середина AB, Y - середина BC

Симметрия относительно точки: X - середина MP, Y - середина MQ

XY - средняя линия △PMQ и △ABC => PQ||XY||AC, PQ=2XY=AC

Аналогично SR||AC, SR=AC, PS||BD||QR, PS=BD=QR

Таким образом PQRS - параллелограмм и его стороны параллельны диагоналям ABCD - значит угол (ф) между сторонами PQRS равен углу между диагоналями ABCD.

S(ABCD) =1/2 AC*BD*sinф =S

S(PQRS) =PQ*PS*sinф =AC*BD*sinф =2S

Answer 2

Для нахождения площади четырехугольника PQRS, можно воспользоваться следующим методом:

1. Разделите четырехугольник ABCD на четыре треугольника: ABM, BCM, CDM и DAM.

2. Так как точки P, Q, R и S симметричны точке M относительно середин сторон четырехугольника ABCD, то можно сказать, что треугольники PAB, QBC, RCD и SDA являются соответственно симметричными треугольниками MAB, MBC, MCD и MAD.

3. Площадь симметричных треугольников равна площади исходных треугольников. Таким образом, площадь треугольников PAB, QBC, RCD и SDA равна площади треугольников MAB, MBC, MCD и MAD.

4. Сложите площади этих четырех треугольников, чтобы найти площадь четырехугольника PQRS. Таким образом:

   Площадь(PQRS) = Площадь(PAB) + Площадь(QBC) + Площадь(RCD) + Площадь(SDA) = = Площадь(MAB) + Площадь(MBC) + Площадь(MCD) + Площадь(MAD).

Таким образом, площадь четырехугольника PQRS равна сумме площадей треугольников MAB, MBC, MCD и MAD, которые можно вычислить по известным сторонам и высотам или другим доступным данным.

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством симметрии относительно середин сторон четырехугольника ABCD. Поскольку точки P, Q, R и S симметричны точке M относительно середин сторон ABCD, каждая из них лежит на луче, исходящем из M и проходящем через середину соответствующей стороны ABCD.

Поскольку ABCD - выпуклый четырехугольник, четыре таких луча не пересекаются внутри фигуры. Они делят четырехугольник на четыре треугольника: AMP, BMQ, CRN и DMS.

Чтобы найти площадь четырехугольника PQRS, мы можем сложить площади этих четырех треугольников. Пусть MP, MQ, NR и NS - это середины соответствующих сторон ABCD. Тогда площадь каждого из треугольников можно найти, используя формулу для площади треугольника по половине основания и высоте:

Площадь треугольника AMP = (1/2) * AM * MP Площадь треугольника BMQ = (1/2) * BM * MQ Площадь треугольника CRN = (1/2) * CR * NR Площадь треугольника DMS = (1/2) * DS * MS

Теперь мы можем сложить площади этих четырех треугольников, чтобы найти площадь четырехугольника PQRS:

S(PQRS) = S(AMP) + S(BMQ) + S(CRN) + S(DMS)

S(PQRS) = (1/2) * AM * MP + (1/2) * BM * MQ + (1/2) * CR * NR + (1/2) * DS * MS

Таким образом, мы нашли площадь четырехугольника PQRS в зависимости от положения точки M и середин сторон ABCD.