Question

В треугольнике KLM стороны относятся как KL: LM:KM = 12: 8: 16. Биссектриса внешнего угла L пересекает прямую KM в точке N. Найдите периметр треугольника KLM, если NM = 8.

Answer 1

Проведем MT||KL

MTL =QLT (накрест лежащие) =MLT => △LMT - равнобедренный, TM=LM

K=TMN (соответственные)

△LKN~△TMN (по двум углам)

LK/TM =KN/MN

LK=12x, LM=8x, KM=16x

12x/8x =(16x+8)/8 => x=1/4

P =(12+8+16)x =36/4 =9

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой биссектрисы внешнего угла треугольника. Согласно этой теореме, биссектриса внешнего угла делит продолжение одной из сторон треугольника пропорционально другим двум сторонам.

Из условия задачи мы знаем, что отношение сторон треугольника $KL:LM:KM = 12:8:16$. Поэтому, давайте представим длины сторон треугольника как $12x$, $8x$, и $16x$ соответственно, где $x$ - это некоторый множитель.

Теперь мы можем использовать теорему биссектрисы внешнего угла для треугольника $KLM$. По этой теореме, отношение деления стороны $KM$ биссектрисой внешнего угла $LN:NM$ равно отношению других двух сторон треугольника $KL:LM$.

Итак, у нас есть:

$\frac{LN}{NM} = \frac{KL}{LM} = \frac{12x}{8x} = \frac{3}{2}$

Теперь мы знаем, что $NM = 8$, поэтому $LN = \frac{3}{2} \times 8 = 12$.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника $KLM$:

$KL = 12x = 12 \times \text{some value} = 12y$

$LM = 8x = 8 \times \text{some value} = 8y$

$KM = 16x = 16 \times \text{some value} = 16y$

Теперь мы знаем, что $NM = 8$ и $LN = 12$, и треугольник $KLN$ - прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора для этого треугольника:

$(KL)^2 + (LN)^2 = (KN)^2$ $(12y)^2 + (12)^2 = (16y)^2$ $144y^2 + 144 = 256y^2$ $112y^2 = 144$ $y^2 = \frac{144}{112} = \frac{9}{7}$ $y = \sqrt{\frac{9}{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника $KLM$:

$KL = 12y = 12 \times \frac{3\sqrt{7}}{7} = 12\sqrt{7}$

$LM = 8y = 8 \times \frac{3\sqrt{7}}{7} = 8\sqrt{7}$

$KM = 16y = 16 \times \frac{3\sqrt{7}}{7} = 24\sqrt{7}$

Теперь мы можем найти периметр треугольника $KLM$:

$P = KL + LM + KM = 12\sqrt{7} + 8\sqrt{7} + 24\sqrt{7} = 44\sqrt{7}$