Question

Найдите объем тела, которое образуется при вращении правильного шестиугольника со стороной a вокруг апофемы (высота, опущенная из центра правильного многоугольника на его сторону).

Answer 1

Ответ:

Вот.

Думаю та к должно быть.

Answer 2

Объем тела, которое образуется при вращении правильного шестиугольника (гексагона) со стороной a вокруг апофемы (высоты, опущенной из центра многоугольника на его сторону), можно найти с помощью интеграла. Этот процесс называется вычислением объема вращения.

1. Сначала определим высоту апофемы в правильном шестиугольнике. Если a - длина стороны шестиугольника, то апофема (r) будет равна половине длины стороны, деленной на тангенс угла внутреннего равностороннего треугольника, который составляет 30 градусов (так как у шестиугольника 6 углов, каждый из которых равен 120 градусам, а внутренний угол треугольника равен 180 - 120 = 60 градусов):

   r = (a/2) / tan(30°) = (a/2) / sqrt(3).

2. Теперь мы можем представить объем вращения как сумму бесконечно маленьких цилиндрических слоев вдоль апофемы. Для каждого такого слоя, радиус которого равен r и высота dx, объем можно выразить как pi * r^2 * dx.

3. Интегрируем этот объем от 0 до высоты апофемы, чтобы получить общий объем:

   V = ∫[0 to (a/2√3)] pi * [(a/2√3)^2] * dx.

4. Теперь произведем вычисления:

   V = pi * (a^2/12) * [x] | (a/2√3) - 0 = pi * (a^2/12) * (a/2√3) = (π/12√3) * a^3.

Итак, объем тела, образованного вращением правильного шестиугольника со стороной a вокруг апофемы, равен (π/12√3) * a^3.