Question

Дан треугольник с вершинами О(1;0;0),A(-1;4;2),B(3;2;4).Найдите площадь данного треугольника

Answer 1

Дан треугольник с вершинами О(1;0;0),A(-1;4;2),B(3;2;4).

Вектор АВ   Вектор ВС   Вектор АС  

x     y    z                            x       y     z                 x      y     z

-2    4     2               4        -2       2                     2      2      4.

Находим модули (длины сторон).

У всех d = √24 = 2√6.

Находим высоту: h = √(24 - 6) = √18 = 3√2.

S = (1/2)*(2√6)*(3√2) = 6√3 ≈ 10,3923 кв.ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника, образованного тремя точками в трехмерном пространстве, можно воспользоваться формулой Герона. Однако, для начала, давайте найдем векторы, соединяющие вершины треугольника.

Вектор $\overrightarrow{OA}$ можно найти как разность координат точек $A$ и $O$:

$\overrightarrow{OA} = A - O = (-1 - 1, 4 - 0, 2 - 0) = (-2, 4, 2)$

Аналогично находим векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{AB}$:

$\overrightarrow{OB} = B - O = (3 - 1, 2 - 0, 4 - 0) = (2, 2, 4)$

$\overrightarrow{AB} = B - A = (3 + 1, 2 - 4, 4 - 2) = (4, -2, 2)$

Теперь, найдем векторное произведение векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$:

$\overrightarrow{N} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

Раскрываем определитель:

$\overrightarrow{N} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}$

$\overrightarrow{N} = \mathbf{i} \cdot (16 - 4) - \mathbf{j} \cdot (-8 - 4) + \mathbf{k} \cdot (-4 - 8)$

$\overrightarrow{N} = 12\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 12\mathbf{k}$

Теперь, найдем длину вектора $\overrightarrow{N}$:

$|\overrightarrow{N}| = \sqrt{12^2 + (-12)^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 144 + 144} = \sqrt{432}$