Question

Доведіть, що діагоналі паралелограма розбивають його на чотири трикутники з рівними площами.

Answer 1

Означення. Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі. Теорема (про рівність діагоналей прямокутника). Доведення. Для доведення використовуємо той факт, що ∆ACD=∆ВCD за першою ознакою рівності трикутників (CD — спільна, АС= BD як протилежні сторони паралелограма, C= D=90). А в рівних трикутниках проти рівних кутів (у цьому випадку прямих кутів) лежать рівні сторони. Отже, ВС=AD, як гіпотенузи рівних прямокутних трикутників, ще й необхідно було довести.
Властивості прямокутника 1. Протилежні сторони рівні й паралельні. 2. Усі кути прямі. 3. Діагоналі рівні, перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться пополам. 4. Кожна діагональ ділить прямокутник на два рівні трикутники. 5. Точка перетину діагоналей є спільною вершиною чотирьох трикутників, які попарно рівні і мають в основах паралельні прямі.

Answer 2

Розглянемо паралелограм ABCD, де AB || CD і AD || BC.

Діагоналі паралелограма — це відрізки, які з'єднують протилежні вершини. Нехай M і N - серединні точки діагоналей AC і BD відповідно.

1. Спостереження 1: Діагоналі паралелограма діляться відповідно точками M і N навпіл.

   $AM = MC, \quad BM = MD, \quad AN = ND, \quad CN = NB.$

2. Спостереження 2: Діагоналі паралелограма перетинаються в одній точці.

   $AM + MN + NA = AN + ND + DM + MA.$

   Перепишемо це як: $AM + MN + NA = AM + MD + DM + NA.$

   Скасуємо AM та NA з обох сторін рівності: $MN = MD.$

3. Спостереження 3: Діагоналі розбивають паралелограм на чотири трикутники.

   Таким чином, паралелограм ABCD розбивається на чотири трикутники: AMN, BNM, CND, та DMA.

4. Спостереження 4: Ми вже знаємо, що $MN = MD$. Також, MN - середня лінія трикутника ADM. З теореми про середню лінію та паралельність, ми можемо сказати, що трикутники AMN і ADM мають рівні площі.

   Аналогічно, можна показати, що інші трикутники BNM і CND також мають рівні площі.

Отже, ми довели, що діагоналі паралелограма розбивають його на чотири трикутники з рівними площами.