Question

Из точки М лежащей вне окружности проведены касательные АМ и ВМ таким образом что дуга ВА равна 120°. Найдите расстояние от точки М до центра окружности, если диаметр окружности равен 20см.

Answer 1

Ответ:

Дана окружность с центром в точке О . Её радиус R=20 см .

АМ и ВМ - касательные к окружности. По свойству, они перпендикулярны радиусу R , то есть  АМ⊥ОА  и  ВМ⊥ОВ .

Дуга ВА=120°   ⇒   ∠АОВ=120°  ,как центральный угол, опирающийся на дугу ВА .

ОМ - биссектриса ∠АОВ  ( по свойству )   ⇒   ∠АОМ=∠ВОМ=120°:2=60°

ΔАОМ - прямоугольный и ∠АМО=180°-90°-60°=30° .

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы   ⇒   ОА=1/2*ОМ   ⇒  

ОМ=2*ОА=2*20=40 см - это расстояние от точки М до центра окружности .

Answer 2

Обозначим центр окружности как O, точку касания касательной АМ с окружностью как А, а точку касания касательной ВМ с окружностью как В. Также обозначим точку M.

Известно, что диаметр окружности равен 20 см. Следовательно, радиус окружности $r$ равен половине диаметра и равен $r = \frac{20}{2} = 10$ см.

Также известно, что дуга ВА равна 120°. Так как угол, образованный двумя радиусами, проведенными к концам дуги, равен углу, образованному касательной в этой точке, то угол AOB (где O - центр окружности, A и B - точки касания касательных) равен 120°.

Теперь у нас есть треугольник OAB, в котором угол AOB = 120°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, угол OAB (угол между радиусом и касательной) равен $180° - 120° = 60°$.

Таким образом, треугольник OAB - равнобедренный треугольник, где OA = OB = 10 см (радиус окружности).

Теперь, чтобы найти расстояние от точки M до центра O, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим это расстояние как $x$.

$x^2 = OA^2 + AM^2 - 2 \cdot OA \cdot AM \cdot \cos(\angle OAM)$

Так как треугольник OAB равнобедренный, то угол OAM (где M - точка касания касательной АМ с окружностью) равен половине угла OAB, то есть 30°.

Подставим значения и решим уравнение:

$x^2 = 10^2 + AM^2 - 2 \cdot 10 \cdot AM \cdot \cos(30°)$

$x^2 = 100 + AM^2 - 20 \cdot AM \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x^2 = 100 + AM^2 - 10 \cdot AM \cdot \sqrt{3}$

Теперь у нас есть уравнение, и нужно найти значение AM (расстояние от точки M до точки касания касательной с окружностью). Так как AM - это радиус окружности, то AM = 10 см.

Подставим это значение в уравнение:

$x^2 = 100 + 10^2 - 10 \cdot 10 \cdot \sqrt{3}$

$x^2 = 100 + 100 - 100 \cdot \sqrt{3}$

$x^2 = 200 - 100 \cdot \sqrt{3}$

Таким образом, расстояние от точки M до центра окружности $x$ равно $\sqrt{200 - 100 \cdot \sqrt{3}}$.

Посчитаем это значение:

$x \approx \sqrt{200 - 100 \cdot \sqrt{3}} \approx \sqrt{200 - 173.21} \approx \sqrt{26.79} \approx 5.18$

Таким образом, расстояние от точки M до центра окружности примерно равно 5.18 см.