Question

Дан параллелограмм ABCD. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются диагонали BD в точках M и N соответственно. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются диагонали AC в точках K и L соответственно. а) Докажите, что MKNL — прямоугольник. б) Найдите площадь этого прямоугольника, если известно, что BC − AB = 4, а угол между диагоналями параллелограмма ABCD равен 30◦ .

Answer 1

a)

В треугольнике ABC

AK=p-BC, CK=p-AB

Пусть BC>AB, O - середина AC

OK =(CK-AK)/2 =(BC-AB)/2

Аналогично OM, OL, ON равны полуразности боковых сторон в соответствующих треугольниках.

AB=CD, BC=AD => OK=OL=OM=ON

MKNL - прямоугольник т.к. диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

б)

KL=MN =2OK =BC-AB =4

S =1/2 *KL*MN *sin30 =4

Answer 2

Для доказательства, что MKNL - прямоугольник, давайте рассмотрим следующие шаги:

а) Докажем, что MN || KL.

Известно, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются диагонали BD в точках M и N соответственно. Также, окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются диагонали AC в точках K и L соответственно. Поскольку касательные к окружности перпендикулярны радиусу в точке касания, то отрезки MK и NL являются биссектрисами углов ABD и BDC соответственно, а отрезки AK и CL являются биссектрисами углов ABC и ADC соответственно. Это означает, что углы BKM и DLN равны, и углы AKC и CLD равны.

Теперь рассмотрим угол между диагоналями AC и BD параллелограмма ABCD. По условию, он равен 30 градусам. Этот угол можно разделить на два равных угла, так как AKC и CLD равны. Таким образом, каждый из этих равных углов равен 15 градусам. Из суммы углов внутри треугольника BKM следует, что угол BKM равен 90 - 15 = 75 градусам. Точно так же, из суммы углов внутри треугольника DLN следует, что угол DLN равен 75 градусам.

Итак, у нас есть следующие равные углы: Угол BKM = Угол DLN = 75 градусов. Угол AKC = Угол CLD = 15 градусов.

b) Теперь, когда мы установили, что MKNL - прямоугольник, давайте найдем его площадь.

Для этого давайте воспользуемся формулой для площади прямоугольника:

Площадь прямоугольника MKNL = Длина MK * Длина NL.

Так как угол BKM равен 75 градусам, то угол BMK (или BMN) равен 180 - 75 = 105 градусам. Также, угол DLN равен 75 градусам, поэтому угол DNL (или DKL) равен 180 - 75 = 105 градусам.

Теперь нам нужно найти длины отрезков MK и NL. Для этого мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями внутренних углов треугольников BKM и DLN.

В треугольнике BKM: sin(75°) = MK / BM, MK = BM * sin(75°).

Аналогично, в треугольнике DLN: sin(75°) = NL / DL, NL = DL * sin(75°).

Теперь нам нужно найти длины BM и DL. Мы знаем, что угол между диагоналями параллелограмма ABCD равен 30 градусам. Поэтому угол ABD (или BDA) также равен 30 градусам. Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длины BM и DL.

В треугольнике ABD: tan(30°) = AB / BD, AB = BD * tan(30°).

В треугольнике BDC: tan(30°) = BC / BD, BC = BD * tan(30°).

Теперь мы можем выразить BM и DL через BD: BM = AB + BC = BD * tan(30°) + BD * tan(30°) = 2 * BD * tan(30°). DL = BC - AB = BD * tan(30°) - BD * tan(30°) = 0.

Таким образом, DL = 0, что означает, что отрезок NL имеет нулевую длину.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника MKNL: Площадь MKNL = MK * NL = (2 * BD * sin(75°)) * 0 = 0.

Итак, площадь прямоугольника MKNL равна 0.