Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C длина высоты CH равна 30. Радиусы вневписанных окружностей треугольников ACH и BCH, касающихся стороны CH, равны 18 и 25 соответственно. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Answer 1

Ладно, так. По многочисленным просьбам читателя.

См. чертеж

Для простоты и прозрачности смысла я обозначаю

с=AB, a = BC, b = AC, h = CH, x = BH, ρ1 = DE = DL = DF - радиус вневписанной окружности треугольника BCH, касающейся стороны CH, по условию ρ1 = 25.

Аналогично y = AH (проекция b на с), ρ2 = GJ=GK=GI  радиус вневписанной окружности треугольника ACH, касающейся стороны CH, по условию ρ2 = 18.

Само собой c = x + y;

Смотрите пока только на треугольник BCH и окружность слева с центром в точке D.

Ясно что BL = BF, и BL + BF = BH + HC + CB = 2*p1 (p1 - полупериметр BCH).

То есть BL = p1.

Теперь надо использовать то что BHC - прямоугольный треугольник. Из этого следует, что DEHL - квадрат со стороной ρ1, поэтому

p1 - x = ρ1; или (a + h + x)/2 - x = ρ1; => ρ1 = (a + h - x)/2;

Аналогично ρ2 = (b + h - y)/2;

(все это была теория, которая есть в любом учебнике, а теперь собственно решение).

ρ1 + ρ2 = (a + h - x)/2 + (b + h - y)/2 = (a + b - c)/2 + h;

Или, если вспомнить, что радиус вписанной окружности r треугольника ABC как раз равен (a + b - c)/2, получится простое соотношение

r = ρ1 + ρ2 - h = 25 + 18 - 30 = 13.

Вот как-то так вроде.

Answer 2

Обозначим через $r$ радиус вписанной окружности треугольника ABC. Также, пусть $r_1$ и $r_2$ будут радиусами вневписанных окружностей треугольников ACH и BCH соответственно.

Известно, что радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника следующим образом:

$r = \frac{S}{p},$

где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - полупериметр треугольника.

Также, известно, что площадь треугольника можно выразить через продукт радиуса вписанной окружности и полупериметра:

$S = rp.$

Для начала найдем площадь треугольника ABC. Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника ABC. Тогда:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.$

Также, полупериметр треугольника $p$ равен полусумме длин всех его сторон:

$p = \frac{a + b + c}{2}.$

Теперь у нас есть два уравнения:

$S = rp,$

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.$

Используем эти уравнения для нахождения радиуса вписанной окружности $r$.

1. $rp = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.$

2. $r = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \cdot b}{p}.$

Теперь, используем тот факт, что $p = \frac{a + b + c}{2}$:

$r = \frac{1}{2} \cdot \frac{a \cdot b}{\frac{a + b + c}{2}}.$

Сокращаем дробь:

$r = \frac{a \cdot b}{a + b + c}.$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $\frac{a \cdot b}{a + b + c}$.

Теперь, рассмотрим треугольники ACH и BCH. Пусть $h$ - высота треугольника ABC из вершины C. Тогда:

$S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

$S_{BCH} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

Также, полупериметры этих треугольников будут равны $s_{ACH} = \frac{a + c + 30}{2}$ и $s_{BCH} = \frac{b + c + 30}{2}$.

Теперь, вспомним формулу для радиуса вневписанной окружности:

$r_1 = \frac{S_{ACH}}{s_{ACH}}$

$r_2 = \frac{S_{BCH}}{s_{BCH}}$

Так как $S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ и $S_{BCH} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$, подставим их в уравнения для $r_1$ и $r_2$:

$r_1 = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h}{\frac{a + c + 30}{2}}$