Question

Биссектриса внешнего угла треугольника ABC при вершине B пересекает прямую AC в точке D. Найдите отрезок BD, если A(1, -5) B(0, 2) C(3, 7)

Answer 1

Ответ:

BD ≈ 62.67

Объяснение:

Треугольник АВС

A(1; -5);   B(0; 2);   C(3; 7)

Найдём длины сторон

$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (2 + 5)^2} = \sqrt{50} \approx 7.071$

$BC = \sqrt{(3-0)^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{34} \approx 5.831$

$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (7 + 5)^2} = \sqrt{148} \approx 12.166$

По теореме косинусов

АС² = АВ² + BC²- 2 · AB · AC · cos ∠B

$148 = 50 + 34 - 2\cdot \sqrt{50\cdot 34} \cdot cos~\angle B$

$cos \angle B = -\dfrac{32}{\sqrt{1700} } \approx -0.7761$

∠B ≈ 140.905°

$sin~B = \sqrt{1 - \dfrac{32^2}{1700} } \approx0.6306$

Найдём  ∠ С

По теореме синусов

$sin~C = sin~B \cdot \dfrac{AB}{AC} =0.6306\cdot \sqrt{\dfrac{50}{148} } \approx 0.3665$

∠C ≈ 21.501°

Bнешний угол при вершине В равен

180° - 140.906 = 39,094°

Биссектриса этого угла делит его на два. равных 19.547 °

В  треугольнике ВСD

∠CBD = 19.547 °

∠BCD = 180° - ∠C = 180° - 21.501° = 158.499°

sin ∠BCD = 0.3665

∠D = 180 ° - (158.499 + 19.547 °) = 1.954°

sin ∠D = 0.0341

По теореме синусов

$BD = BC\cdot \dfrac{sin~\angle BCD}{sin~\angle D} = \sqrt{34} \cdot \dfrac{0.3665}{0.0341} \approx 62.67$

Answer 2

Чтобы найти отрезок BD, нужно сначала найти уравнение прямой AC и точку пересечения с биссектрисой угла B. После этого можно найти длину отрезка BD.

1. Найдем уравнение прямой AC, используя координаты точек A и C: Уравнение прямой AC можно найти, используя формулу для уравнения прямой вида y = mx + b, где m - это наклон прямой, а b - свободный член.

Наклон прямой m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (7 - (-5)) / (3 - 1) = 12 / 2 = 6.

Теперь используем формулу y = mx + b, подставив координаты одной из точек (например, A(1, -5)):

-5 = 6 * 1 + b b = -5 - 6 = -11.

Таким образом, уравнение прямой AC имеет вид y = 6x - 11.

2. Найдем точку пересечения биссектрисы угла B с прямой AC. Биссектриса угла B делит угол ABC пополам, поэтому ее наклон будет средним из наклонов отрезков AB и BC.

Наклон отрезка AB: m_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - (-5)) / (0 - 1) = 7 / (-1) = -7.

Наклон отрезка BC: m_BC = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (7 - 2) / (3 - 0) = 5 / 3.

Наклон биссектрисы m_bisector = (m_AB + m_BC) / 2 = (-7 + 5/3) / 2 ≈ -1.833.

Теперь, используя координаты точки B(0, 2) и наклон биссектрисы, найдем уравнение биссектрисы угла B: y - 2 = -1.833(x - 0) y = -1.833x + 2.

3. Найдем точку пересечения биссектрисы с прямой AC. Так как у нас есть уравнения прямой AC (y = 6x - 11) и биссектрисы (y = -1.833x + 2), найдем точку пересечения, приравняв их: 6x - 11 = -1.833x + 2.

Решив это уравнение относительно x, получаем: 6x + 1.833x = 2 + 11 7.833x = 13 x ≈ 1.659.

Теперь найдем y, подставив x в уравнение прямой AC: y = 6 * 1.659 - 11 ≈ 0.954.

Точка пересечения биссектрисы с прямой AC имеет координаты D(x, y) ≈ (1.659, 0.954).

4. Найдем длину отрезка BD, используя координаты точек B и D: Длина отрезка BD: BD = sqrt((x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2) ≈ sqrt((1.659 - 0)^2 + (0.954 - 2)^2) ≈ sqrt(1.659^2 + (-1.046)^2) ≈ sqrt(2.753881 + 1.094116) ≈ sqrt(3.847997) ≈ 1.961.

Таким образом, длина отрезка BD составляет примерно 1.961 (округлено до трех знаков после запятой).