Question

В прямоугольном треугольнике меди- ана, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один из кото- рых в 8 раз меньше другого. Найдите острые углы данного треугольника.​

Answer 1

Ответ: 10° и 80°

Объяснение:

Прямой угол равен 90°

х + 8х = 90

9х = 90

х = 10

Один из углов равен 10°

8 * 10 = 80

Второй угол равен 80°

По свойству медианы в прямоугольном треугольнике она равна половине гипотенузы. Следовательно образует 2 равнобедренных треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит острые углы треугольника равны 10° и 80°

Answer 2

Обозначим больший из двух углов, на которые делится прямой угол, как $x$, а меньший как $y$.

Из условия задачи мы знаем, что один из этих углов (пусть это будет $x$) в 8 раз меньше другого (то есть $y = 8x$).

Также из геометрии треугольника известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам. То есть, если обозначить длину медианы как $m$, то:

$m^2 = a^2 + b^2$

где $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.

Теперь мы можем воспользоваться тем, что медиана разбивает прямой угол пополам. Это значит, что треугольник, образованный медианой и катетом, тоже является прямоугольным.

Из подобия треугольников получаем:

$\frac{m}{a} = \frac{b}{m}$

$\Rightarrow m^2 = ab$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} y = 8x \\ m^2 = a^2 + b^2 \\ m^2 = ab \end{cases}$

Мы можем решить эту систему. Воспользуемся вторым и третьим уравнениями:

$a^2 + b^2 = ab$

Это уравнение квадратное относительно $a$ (или $b$). Решим его, например, относительно $a$:

$a^2 - ab + b^2 = 0$

$D = b^2 - 4b^2 = -3b^2$

Так как дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней, следовательно, $b$ должно быть равно нулю. Но в прямоугольном треугольнике длина катета не может быть нулевой, следовательно, это решение не подходит.

Итак, мы делаем вывод, что система не имеет решений. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка, или в ней пропущены какие-то данные.

Answer 3

Для решения этой задачи давайте обозначим острые углы данного прямоугольного треугольника как A и B, а медиану, проведенную к гипотенузе, как M.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол (угол C) на два угла. Пусть один из этих углов будет x, а другой - 8x.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем записать уравнение:

x + 8x + 90 = 180

9x + 90 = 180

9x = 180 - 90

9x = 90

Теперь делим обе стороны на 9, чтобы найти значение x:

x = 90 / 9

x = 10

Таким образом, один из углов (x) равен 10 градусам, а другой угол (8x) равен:

8x = 8 * 10 = 80 градусов

Таким образом, острые углы данного треугольника равны 10 градусов и 80 градусов.