Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если А(15; 3), В(21; 6), С(17; 14) и D(11; 11). SABCD=

Answer 1

Ответ:

решение смотреть на рисунке

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы должны проверить, что его противоположные стороны параллельны и что углы между ними прямые (равны 90 градусам). Для этого нам потребуется вычислить уравнения прямых, содержащих стороны AB, BC, CD и DA, и проверить условия прямоугольности.

1. Сначала найдем уравнения прямых, проходящих через точки A и B, а также C и D.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), можно выразить в виде: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1).$

Для отрезка AB с координатами A(15, 3) и B(21, 6) имеем: Уравнение AB: $y - 3 = \frac{6 - 3}{21 - 15}(x - 15).$ $y - 3 = \frac{1}{6}(x - 15).$ $6(y - 3) = x - 15.$

Аналогично, уравнение прямой BC с координатами C(17, 14) и D(11, 11): Уравнение CD: $y - 14 = \frac{11 - 14}{11 - 17}(x - 17).$ $y - 14 = -\frac{1}{6}(x - 17).$ $6(y - 14) = -x + 17.$

2. Теперь давайте проверим, являются ли эти противоположные стороны параллельными.

Для этого сравним коэффициенты наклона (или наклонные числа) уравнений AB и CD. Оба коэффициента равны 1/6, что означает, что обе стороны параллельны.

3. Теперь проверим, что углы между этими сторонами прямые. Если стороны параллельны и пересекаются, то углы между ними будут прямыми.

Итак, четырёхугольник ABCD является прямоугольником, так как его противоположные стороны параллельны и углы между ними прямые.

4. Теперь вычислим площадь прямоугольника ABCD.

Для этого нам нужно найти длины его сторон AB и BC.

AB: Из уравнения AB: 6(y - 3) = x - 15. Перепишем уравнение в виде x = 6(y - 3) + 15 и выразим x: x = 6y - 18 + 15 x = 6y - 3.

Теперь мы можем найти длину AB, подставив координаты точек A и B: AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) AB = √((21 - 15)^2 + (6 - 3)^2) AB = √(6^2 + 3^2) AB = √(36 + 9) AB = √45 AB = 3√5.

BC: Из уравнения CD: 6(y - 14) = -x + 17. Перепишем уравнение в виде x = -6(y - 14) + 17 и выразим x: x = -6y + 84 + 17 x = -6y + 101.

Теперь мы можем найти длину BC, подставив координаты точек C и D: BC = √((x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2) BC = √((11 - 17)^2 + (11 - 14)^2) BC = √((-6)^2 + (-3)^2) BC = √(36 + 9) BC = √45 BC = 3√5.

Теперь, когда мы знаем длины сторон AB и BC, мы можем найти площадь прямоугольника ABCD:

Площадь SABCD = AB * BC SABCD = (3√5) * (3√5) SABCD = 9 * 5 SABCD = 45 квадратных единиц.