Question

Дан равнобедренный треугольник ABC, (AB=BC). Точка О – середина высоты BD. Луч АО пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника ВОЕ, если площадь треугольника АВС равна 72.

Answer 1

Ответ:

S=6 ед²

Объяснение:

Дано: ΔАВС - равнобедренный.

BO=OD

AO ∩ BC=E

S (ΔABC)=72

Найти: S (ΔBOE)

Решение:

Проведем DК || AE.

1. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике высота является медианой.

⇒ BD - высота, медиана.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

⇒S (ΔABD)=S (ΔDBC)=72:2=36.

2. Рассмотрим ΔABD.

DO=OB (условие)

⇒ АО - медиана

⇒ S (ΔAOD)=S (ΔAOB)=36:2=18.

3. Рассмотрим ΔDВК.

DО=ОВ; ОЕ || DК ⇒ ОЕ - средняя линия ΔDВК

Средняя линия равна половине основания.

Пусть ОЕ=х, тогда DК=2х

4. Рассмотрим ΔАЕС.

АD=DС; DК || АЕ ⇒DК - средняя линия ΔАЕС.

DК=2х ⇒ АЕ = 4х

5.

Рассмотрим ΔАВО и ΔВОЕ

АО=АЕ-ОЕ=4х-х=3х

$\displaystyle S_{ABO}=\frac{1}{2}AO*h=\frac{1}{2}*3xh=3\left(\frac{1}{2}xh\right)$

$\displaystyle S_{BOE}=\frac{1}{2} OE*h=\frac{1}{2}xh$

⇒ S (ΔAВО)=3S (ΔBOE)

$\displaystyle S_{ABO}=3S_{BOE}\\ \\ 18=3S_{BOE}\\\\S_{BOE}=6$

Answer 2

Давайте рассмотрим данный треугольник ABC. Так как AB = BC, то у него две равные стороны, а значит, он равнобедренный. Поскольку O - середина высоты BD, то точка O также является серединой стороны AC (поскольку высота BD проходит через вершину B и перпендикулярна стороне AC).

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOC. Он также является равнобедренным, так как AO = OC (в силу того, что O - середина стороны AC, и треугольник AOC является прямоугольным).

Теперь у нас есть два равнобедренных треугольника AOC и ABC, и мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 72. Пусть высота треугольника ABC, проведенная из вершины B, равна h.

Тогда площади треугольников AOC и ABC связаны следующим образом:

Площадь треугольника AOC = 1/2 * AO * AC = 1/2 * (1/2 * BC) * (BC) = 1/4 * BC^2.

Площадь треугольника ABC = 1/2 * BC * h = 72.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ВОЕ. Треугольник ВОЕ подобен треугольнику AOC, так как у них соответственные углы равны (вертикальные углы) и у них равны две стороны (AO и OC). Таким образом, соотношение площадей этих треугольников такое же, как соотношение площадей треугольников AOC и ABC.

Площадь треугольника ВОЕ = 1/4 * BC^2.

Теперь мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 72, поэтому:

1/4 * BC^2 = 72.

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

BC^2 = 72 * 4, BC^2 = 288.

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

BC = √288, BC = 12√2.

Теперь мы знаем длину стороны BC, и мы можем найти площадь треугольника ВОЕ:

Площадь треугольника ВОЕ = 1/4 * (12√2)^2 = 1/4 * 288 = 72.

Итак, площадь треугольника ВОЕ равна 72.