Question

312." У трикутнику АВС відомо, що AB = BC, ZA = 60°, кут BCD суміжний із кутом АСВ, СМ - бісектриса кута BCD. Доведіть, що AB || СМ.​

Answer 1

Ответ:

Нехай дано ∆АВС, АВ = ВС, ∟ZA = 60°, ∟BCD - суміжний з ∟ACB,

СМ - бісектриса ∟BCD. Доведемо, що АВ ‖ СМ.

Розглянемо ∆АВС - рівнобедрений (АВ = ВС),

тоді ∟BAC = ∟BCA = 60° (як кути при ocновi ∆АВС).

∟ACB + ∟BCD = 180° (як суміжні), ∟BCD = 180° - 60° = 120°.

∟BCM = ∟MCD = 1/2∟BCD = 120° : 2 = 60° (СМ - бісектриси ∟BCD).

∟ВАС = ∟MCD = 60°, цi кути є відповідними при прямих АВ, CM i cічнй AD.

Tоді за ознакою паралельності прямих АВ ‖ СМ.

Answer 2

Для доведення, що лінія AB паралельна лінії CM, скористаємося властивостями бісектриси кута та суміжних кутів.

1. Оскільки AB = BC, ми маємо трикутник ABC з AB = BC.

2. Даний кут ZA = 60°, що означає, що ми маємо кут ABC = 60° (оскільки внутрішні кути трикутника суміжні та їхня сума дорівнює 180°).

3. Кут BCD є суміжним кутом з кутом ACB, оскільки CM є бісектрисою кута BCD.

4. Отже, ми можемо сказати, що кут ACB = 2 * кут MCB (бісектриса ділить кут на два однакових кути).

5. Позначимо кут MCB як x. Отже, кут ACB = 2x.

6. Враховуючи, що кут ABC = 60°, ми маємо: 2x + x = 60° (за властивістю суми кутів трикутника).

7. Розв'язавши рівняння: 3x = 60°, x = 20°.

8. Тепер ми знаємо, що кут MCB = x = 20°.

9. Оскільки кут MCB = 20°, ми можемо сказати, що кут MCA = 180° - 20° = 160° (оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює 180°).

10. Оскільки кут MCA = 160°, а кут ACB = 60°, то кути MCA та ACB не доповнюють один одного до 180°.

11. Це означає, що лінія AB є паралельною лінії CM (за властивістю паралельних ліній та перетину бісектриси зі стороною та її протилежним кутом).

Отже, доведено, що AB || СМ.