Question

Составить каноническое уравнение гиперболы, если эксцентриситет гиперболы равен 1.4, а расстояние от вершины к ближайшему фокусу равно 2.

Answer 1

Пусть вершина гиперболы - точка (а;0), тогда ближайший фокус будет (с;0), по условию с-а=2, а эксцентриситет с/а=1.4, тогда из второго условия с=1.4а, подставим в первое уравнение, то 1.4а-а=2, откуда а=2/0.4=5, значит, с =2+5=7.

b²=c²-a²;  b²=7²-5²=12*2=24;

общее уравнение гиперболы  х²/а²-у²/b²=1, подставим полученные значения, выходим на ответ  х²/5²-у²/(√24)²=1, или х²/25-у²/24=1,

Answer 2

Каноническое уравнение гиперболы с заданным эксцентриситетом (e) и расстоянием от вершины к ближайшему фокусу (c) можно записать в следующей форме:

Для гиперболы с фокусами на оси x: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

где a - полуось, b - полуось, e - эксцентриситет, c - расстояние от начала координат до фокусов.

В данном случае, эксцентриситет (e) равен 1.4 и расстояние от вершины к ближайшему фокусу (c) равно 2.

Мы знаем, что эксцентриситет (e) связан с полуосью (a) и расстоянием до фокусов (c) следующим образом: $e = \frac{c}{a}$

Из этого уравнения можно выразить полуось (a): $a = \frac{c}{e}$

Теперь у нас есть все данные для составления канонического уравнения гиперболы:

$\frac{x^2}{\left(\frac{2}{1.4}\right)^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Упростим выражение: $\frac{x^2}{\left(\frac{10}{7}\right)^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Теперь у нас есть каноническое уравнение гиперболы, в котором эксцентриситет равен 1.4, а расстояние от вершины к ближайшему фокусу равно 2.