Question

На сторонах параллелограмма ABCD построены равносторонние треугольники BKC и AND. Докажите, что BKDN — параллелограмм.

Answer 1

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм.

ΔВКС и ΔAND - равносторонние.

Доказать: BKDN - параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим ΔВКС и ΔAND - равносторонние.

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ ВС = AD

⇒ ΔВКС = ΔAND (по трем сторонам, 3 признак)

⇒ BK = ND

2. ВС || AD (ABCD - параллелограмм)

∠1 = ∠2 (накрест лежащие при ВС || AD и секущей BD)

• В равностороннем треугольнике углы равны 60°.

⇒

∠DBK = ∠1 + 60°

∠BDN = ∠2 + 60°

⇒ ∠DBK + ∠BDN - накрест лежащие при BK и ND и секущей BD.

• Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

⇒ BK || ND

• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

⇒ BKDN — параллелограмм

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхугольник BKDN является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны этого четырёхугольника параллельны.

Для начала, обратим внимание на то, что по условию треугольники BKC и AND равносторонние, следовательно, углы BKC и AND равны 60 градусов каждый.

Теперь рассмотрим стороны BK и DN. Они являются продолжениями сторон AB и CD соответственно. Поскольку AB и CD являются параллельными сторонами параллелограмма ABCD, то угол между ними равен 180 градусов (сумма углов в линии).

Так как угол BKC равен 60 градусов, то угол между сторонами BK и CD равен 180 градусов - 60 градусов = 120 градусов.

Аналогично, угол AND равен 60 градусов, поэтому угол между сторонами DN и AB также равен 180 градусов - 60 градусов = 120 градусов.

Таким образом, у нас есть два угла между сторонами BK и CD, а также между сторонами DN и AB, которые равны 120 градусам каждый. Это значит, что стороны BK и DN параллельны и имеют одинаковую направленность.

Итак, мы доказали, что стороны BK и DN параллельны, что является определением параллелограмма. Следовательно, четырёхугольник BKDN является параллелограммом.