Question

Зависимость координаты тела от времени дается уравнением х=A-Bt+Ct2+Dt3, где А=6 м, В=3м/с, С=-2 м/с2, D=0,2 м/с3. Считая движение прямолинейным, определить для тела в интервале времени от t1=1 c до t2=4 с 1) среднюю скорость; 2) путь, пройденный телом; 3) в какой момент времени после начала движения точка вернется в исходное положение?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

x(t) = A - B·t + C·t² + D·t³

A = 6 м

B = 3 м/с

C = - 2 м/с²

D = 0,2 м/с²

t₁ = 1 с

t₂ = 4 c

___________

Vcp - ?

S - ?

t'- ?

Запишем уравнение движения:

x(t) = 6 - 3·t - 2·t² + 0,2·t³

Заметим сразу, что тело начитает движение со скоростью  -3  м/с, начиная движение против положительного направления оси из точки с координатой + 6 м.

1)

Находим координаты заданных точек:

x(1) = 6 - 3·1 - 2·1² + 0,2·1³ = 1,2  м

x(4) = 6 - 3·4 - 2·4² + 0,2·4³ = - 25,2  м

С учетом направления движения тела пройденный путь:

ΔS = x(1) - x(4) = 1,2 - (-25,2) = 26,4 м

2)

Средняя скорость:

Vcp = ΔS / Δt = 26,4 / 3 = 8,8 м/с

3)

Находим время, через которое тело вернется в исходное положение.

Перемещение тела

S = | - 3·t - 2·t² + 0,2·t³ | = 0

Решим уравнение:

- 3·t - 2·t² + 0,2·t³ = 0

3·t + 2·t² - 0,2·t³ = 0

t·(3 + 2·t - 0,2·t²) = 0

Получаем:

t₁ = 0

t₂ ≈ 12 c

Answer 2

Для определения указанных параметров движения тела, мы можем использовать следующие формулы:

1. Средняя скорость (V_avg) в интервале времени от t1 до t2 вычисляется по формуле: V_avg = Δx / Δt, где Δx - изменение координаты, а Δt - изменение времени.

2. Путь (S) можно вычислить, интегрировав уравнение движения от t1 до t2: S = ∫(х)dt, от t1 до t2.

3. Для определения момента времени, когда точка вернется в исходное положение, нам нужно найти корни уравнения х(t) = 0.

Давайте начнем с вычисления каждого из этих параметров:

1. Средняя скорость (V_avg): Δx = х(t2) - х(t1) Δt = t2 - t1 Подставим значения: Δx = (A - Bt2 + Ct2^2 + Dt2^3) - (A - Bt1 + Ct1^2 + Dt1^3) = (6 - 3t2 + (-2)t2^2 + 0.2t2^3) - (6 - 3t1 + (-2)t1^2 + 0.2t1^3) Δt = t2 - t1 = 4 с - 1 с = 3 с Теперь можем найти среднюю скорость: V_avg = Δx / Δt

2. Путь (S): Для нахождения пути, нам нужно интегрировать уравнение х(t) от t1 до t2: S = ∫[t1, t2](A - Bt + Ct^2 + Dt^3)dt S = At - (B/2)*t^2 + (C/3)*t^3 + (D/4)*t^4, от t1 до t2

   Теперь, подставив значения t1 и t2, мы можем вычислить путь S.

3. Момент времени, когда точка вернется в исходное положение: Это произойдет, когда х(t) = 0: 0 = A - Bt + Ct^2 + D*t^3

   Мы можем решить это уравнение численно для t в интервале от t1 до t2, чтобы найти, когда точка вернется в исходное положение.

Выполним эти вычисления:

1. Средняя скорость: Δx = (6 - 34 + (-2)4^2 + 0.24^3) - (6 - 31 + (-2)1^2 + 0.21^3) = (6 - 12 - 32 + 32/5) - (6 - 3 - 2 + 0.2) = (-38/5) - (1.8) = -38/5 - 9/5 = -47/5 м

   Δt = 4 с - 1 с = 3 с

   V_avg = Δx / Δt = (-47/5) м / 3 с ≈ -15.67/с м/с

2. Путь (S): S = (6*4 - (3/2)*4^2 + (-2/3)*4^3 + (0.2/4)4^4) - (61 - (3/2)*1^2 + (-2/3)*1^3 + (0.2/4)*1^4) = (24 - 24 + 128/3 + 2) - (6 - 1 - 2/3 + 0.05) = (154/3 + 2) - (22/3 + 0.05) = (160/3) - (22/3 + 0.05) = (160/3) - (220/3) ≈ -60/3 = -20 м

3. Для нахождения момента времени, когда точка вернется в исходное положение, нам нужно решить уравнение: 0 = 6 - 3*t + (-2)t^2 + 0.2t^3

   Мы можем воспользоваться численными методами (например, методом Ньютона) для нахождения корней этого уравнения. Решение этого уравнения даст нам момент времени, когда точка вернется в исходное положение.

Итак, средняя скорость тела в интервале от t1=1 с до t2=4 с равна примерно -15.67 м/с, путь, пройденный телом, составляет примерно -20 м, и момент времени, когда точка вернется в исходное положение, может быть найден численно из уравнения движения.