Question

Окружность с центром в точке O вписана в правильный треугольник ABC . Найди диаметр вписанной окружности, если BO=13 .

Answer 1

Ответ:

Диаметр вписанной окружности равен 13 (ед.)

Объяснение:

Требуется найти диаметр вписанной окружности в правильный треугольник.

Дано: ΔАВС - правильный;

Окр.О - вписанная в ΔАВС;

ВО = 13.

Найти: Диаметр вписанной окружности.

Решение:

• Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

⇒ ВН - биссектриса.

• В правильном треугольнике биссектриса, проведенная к любой стороне, является его медианой, высотой.

⇒ ВН - медиана, высота.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ОН - радиус.

• Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

⇒ ВО : ОН = 2 : 1

То есть ВО в два раза больше ОН.

ВО = 13 ед.;

⇒ ОН = ВО : 2 = 13 : 2 = 6,5 (ед.)

• Длина диаметра равна длине двух радиусов.

⇒ КН = ОН · 2 = 6,5 · 2 = 13 (ед.)

Диаметр вписанной окружности равен 13 (ед.)

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойство вписанных окружностей в правильных треугольниках. Это свойство утверждает, что радиус вписанной окружности равен половине биссектрисы угла треугольника, а диаметр вписанной окружности равен длине биссектрисы.

В данном случае, у нас есть правильный треугольник ABC с вписанной окружностью, и BO - это биссектриса угла B. Мы знаем, что BO = 13.

Так как BO - это биссектриса угла B, она делит угол B пополам. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические отношения для нахождения длины половины стороны AB, а затем умножить эту длину на 2, чтобы найти диаметр вписанной окружности.

Для этого мы можем использовать тангенс угла B:

$\tan(B/2) = \frac{BO}{AB}$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AB:

$AB = \frac{BO}{\tan(B/2)} = \frac{13}{\tan(60/2)} = \frac{13}{\tan(30)} = \frac{13}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3}$

Теперь у нас есть длина половины стороны AB. Чтобы найти диаметр вписанной окружности, умножим это значение на 2:

$\text{Диаметр вписанной окружности} = 2 \cdot \frac{13\sqrt{3}}{3} = \frac{26\sqrt{3}}{3}$

Итак, диаметр вписанной окружности равен $\frac{26\sqrt{3}}{3}$.