Question

1.Отрезок АК перпендикуляр к плоскости ромба КМСВ. АВ перпендикулярно ВС. a) Докажите, что КМСВ квадрат. b) Определите угол между плоскостью АКМ и плоскостью КМС. c) Найдите длину КС, если АК=9, угол АМК=60 градусов. Прошу срочно!!!

Answer 1

Ответ:

b) ∠((АКМ); (КМС)) = 90°

c) KM = 3√3

Объяснение:

АК -  перпендикуляр к плоскости ромба.

а)

АВ⊥ВС, КВ - проекция наклонной АВ на плоскость (КМС), значит КВ⊥ВС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.

Если один угол ромба прямой, то это квадрат,  ⇒

КМСВ - квадрат.

b) Признак перпендикулярности плоскостей:

• если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

АК⊥(КМС), плоскость (АКМ) проходит через прямую АК, значит плоскости перпендикулярны.

∠((АКМ); (КМС)) = 90°

с) АК = 9, ∠АМК = 60°

ΔАМК:  ∠АКМ = 90°,

$tg\angle AMK=\dfrac{AK}{KM}$

$\boldsymbol{KM}=\dfrac{AK}{tg\; 60^\circ}=\dfrac{9}{\sqrt{3}}\boldsymbol{=3\sqrt{3}}$

Answer 2

a) Для доказательства, что КМСВ - квадрат, давайте рассмотрим угол между отрезком АВ и отрезком АК. Этот угол равен 90 градусов, так как АВ перпендикулярно ВС. Теперь, учитывая, что отрезок АК перпендикулярен к плоскости ромба КМСВ, у нас есть два прямых угла в точке А. Это означает, что угол ВКС также равен 90 градусов.

Теперь давайте рассмотрим угол между отрезком КС и отрезком КМ. У нас уже есть два угла по 90 градусов, и так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, угол ВКМ также равен 90 градусов.

Таким образом, мы доказали, что углы при вершинах К, М, С и В равны 90 градусов, что делает ромб КМСВ квадратом.

b) Для определения угла между плоскостью АКМ и плоскостью КМС, давайте рассмотрим нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости АКМ будет перпендикулярной к вектору АК и вектору АМ. Нормаль к плоскости КМС будет перпендикулярной к вектору КМ и вектору КС.

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения их нормализованных форм. Первым нормализуем векторы:

Вектор АК: АК/|АК| = АК/9 Вектор АМ: АМ/|АМ|, где |АМ| = 9 (так как АМК - равносторонний треугольник) Вектор КМ: КМ/|КМ|, где |КМ| = 9 (так как КМК - равносторонний треугольник)

Теперь вычислим скалярное произведение нормализованных векторов АК и АМ, чтобы найти косинус угла между плоскостью АКМ и плоскостью КМС:

cos(θ) = (АК/9) * (АМ/9)

Так как АМК - равносторонний треугольник и угол АМК равен 60 градусам, мы знаем, что:

cos(60°) = 1/2

Итак, cos(θ) = (1/9) * (1/2) = 1/18

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(1/18)

Это угол между плоскостью АКМ и плоскостью КМС.

c) Для нахождения длины КС воспользуемся тригонометрией в равностороннем треугольнике АМК:

АК = 9 (дано) Угол АМК = 60 градусов (дано)

Для нахождения длины АМ используем тригонометрический косинус:

cos(60°) = АМ / 9

1/2 = АМ / 9

АМ = 9 / 2 = 4.5

Теперь, мы знаем длину АК и длину АМ, и можем найти длину КМ, так как это равносторонний треугольник:

КМ = АМ = 4.5

Теперь, чтобы найти длину КС, используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике КСМ:

КС² = КМ² + МС²

КС² = (4.5)² + (4.5)²

КС² = 20.25 + 20.25

КС² = 40.5

КС = √40.5 ≈ 6.36 (округлено до двух знаков после запятой)

Таким образом, длина КС примерно равна 6.36.