Question

В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка K. Докажи, что BC>BK, если AKB меньше 90

Answer 1

Ответ:

Надеюсь, вы сделали рисунок.

∠AKV90° (по точке на соседних углах).

В ΔSLE один из углов тупой (кстати, в любом треугольнике может быть тупой угол) ⇒ против него лежит большая сторона. Это сторона солнца. А так как эта сторона самая большая, то BC > BK

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства неравенства BC > BK, когда угол AKB меньше 90 градусов, мы можем использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит:

В любом треугольнике ABC с сторонами a, b и c и углом C между сторонами a и b:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

В данном случае мы рассматриваем треугольник ABC с углом AKB меньше 90 градусов. Пусть длины сторон треугольника следующие: AB = c AC = b BC = a AK = x BK = y

Мы хотим доказать, что BC > BK, то есть a > y.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ABK:

c^2 = x^2 + y^2 - 2xy * cos(AKB)

Поскольку AKB меньше 90 градусов, cos(AKB) положителен, и мы можем переписать неравенство следующим образом:

c^2 = x^2 + y^2 - 2xy * cos(AKB) > x^2 + y^2 - 2xy

Теперь заметим, что x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2. Мы знаем, что c = AB > AK, поэтому c^2 > x^2, и мы можем заменить c^2 в неравенстве:

c^2 > x^2 + y^2 - 2xy

c^2 > (x - y)^2

Теперь извлекаем корень из обеих сторон неравенства:

c > |x - y|

Так как c > 0 и x > 0 (так как AK > 0), то можно утверждать, что c > |x - y|. Теперь мы можем использовать это неравенство:

a = BC = c > |x - y|

Из этого следует, что a (BC) больше, чем |x - y|. А так как x > 0 (по построению) и |x - y| всегда больше или равно 0, то это означает, что a (BC) больше, чем y, что и требовалось доказать. Таким образом, доказано, что BC > BK, когда AKB меньше 90 градусов.