Question

В шар вписана правильная треугольная призма с наибольшим объёмом. Определите этот объем, если радиус шара равен R

Answer 1

Ответ:

V = R³

Объяснение:

Правильная треугольная пирамида вписана в шар. Значит, центр шара лежит на середине отрезка HH₁, соединяющего центры оснований.

О - центр шара,

OB = R,

$OH=\dfrac{h}{2}$

$HB=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ как радиус окружности, описанной около правильного треугольника.

Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:

$R^2=\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{h}{2}\right)^2$

$R^2=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{h^2}{4}$

$a^2=3R^2-\dfrac{3h^2}{4}$

Объем призмы:

$V=S_{ABC}\cdot h=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h$

Выразим объем через высоту призмы:

$V=\dfrac{\left(3R^2-\dfrac{3h^2}{4}\right)\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot h$

$V=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}h-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}h^3$

Рассмотрим объем как функцию от высоты. Найдем точку максимума этой функции.

$V'=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{16}h^2$

$\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{16}h^2=0\; \: \; \: |\cdot \dfrac{16}{9\sqrt{3}}$

$\dfrac{4R^2}{3}-h^2=0$

$h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$,  

h > 0

Отметим знаки производной на интервалах (см. рисунок)

$h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$ - точка максимума.

Найдем объем призмы при найденном значении высоты.

$V=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}h-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}h^3=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}\cdot \dfrac{2R}{\sqrt{3}}-\dfrac{3\sqrt{3}}{16}\cdot \dfrac{8R^3}{3\sqrt{3}}=$

$=\dfrac{3R^3}{2}-\dfrac{R^3}{2}=R^3$

Answer 2

Для определения объема правильной треугольной призмы, вписанной в сферу радиусом R, мы можем разбить эту призму на три равных тетраэдра. Объем каждого тетраэдра можно выразить следующим образом:

Объем тетраэдра = (1/12) * h * a^2,

где h - высота тетраэдра, a - длина стороны основания тетраэдра.

Так как треугольная призма правильная, то каждый угол в основании равен 60 градусам. Это делает треугольник в основании равносторонним, и длина его стороны равна a.

Теперь мы должны определить высоту тетраэдра. Для этого можно провести радиус сферы от центра до центра одной из граней треугольной призмы. Тогда эта линия будет являться высотой одного из тетраэдров.

Половина длины стороны основания треугольной призмы равна R (половина диаметра сферы). Так как треугольник в основании равносторонний, то его высота h равна:

h = a * sqrt(3) / 2.

Теперь мы можем рассчитать объем одного тетраэдра:

Объем тетраэдра = (1/12) * (a * sqrt(3) / 2) * a^2 = (sqrt(3) / 24) * a^3.

Так как у нас три таких тетраэдра, то общий объем призмы равен:

Общий объем призмы = 3 * (sqrt(3) / 24) * a^3 = (sqrt(3) / 8) * a^3.

Теперь у нас есть выражение для объема призмы в зависимости от длины стороны a. Чтобы найти объем шара, вписанного в эту призму, нам нужно найти длину стороны a.

Для этого можно воспользоваться свойствами правильной треугольной призмы. Диагональ основания призмы равна двум радиусам сферы (2R). Эта диагональ также является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами a/2 (половина стороны основания) и h (высота призмы). Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора:

(a/2)^2 + h^2 = (2R)^2.

(a/2)^2 + (a * sqrt(3) / 2)^2 = (2R)^2.

a^2/4 + (3a^2/4) = 4R^2.

4a^2/4 = 4R^2.

a^2 = 4R^2.

a = 2R.

Теперь, когда у нас есть значение a, мы можем выразить объем призмы исходя из радиуса R:

Общий объем призмы = (sqrt(3) / 8) * (2R)^3 = (sqrt(3) / 8) * 8R^3 = sqrt(3) * R^3.

Итак, объем правильной треугольной призмы, вписанной в сферу радиусом R, равен sqrt(3) * R^3.