Question

Трапеция вписана в окружность радиуса 5, причём один из её углов равен 60°. Найдите периметр трапеции, если одно её основание является диаметром окружности. (Помогите пожалуйста подробно)​

Answer 1

Ответ:

Периметр трапеции: 25

Объяснение:

• Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

ОА = ОВ = ОС = OD = 5 как радиусы.

Треугольник АОВ равнобедренный, значит ∠ОВА = ∠ОАВ = 60°, но тогда

∠АОВ = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°, то есть

ΔАОВ равносторонний,

АВ = АО = 5

• Вообще, если в равнобедренном треугольнике любой угол равен 60°, то этот треугольник равносторонний.

CD = AB = 5, так как трапеция равнобедренная.

ΔCOD так же равносторонний, значит ∠COD = 60°.

Углы АОВ, ВОС и COD составляют в сумме развернутый угол, тогда

∠ВОС = 180° - (∠АОВ + ∠COD) = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°

Значит, ΔВОС тоже равносторонний,

ВС = ОВ = 5

Периметр трапеции:

P = AB + BC +  CD + AD = 5 + 5 + 5 + 10 = 25

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами вписанных углов и треугольников в окружности.

У нас есть окружность радиуса 5, и один из углов трапеции равен 60 градусов. Так как одно из оснований трапеции является диаметром окружности, то диаметр разделит окружность на два равных радиусных отрезка. Это означает, что каждый из этих отрезков равен 5 единицам. Теперь мы можем посмотреть на следующую схему:

cssCopy code
       A------------------B
       |                  |
       |                  |
       |                  |
       |                  |
       |                  |
       |                  |
       |                  |
       |                  |
       |                  |
       D------------------C

Где A и B - точки на окружности, а D и C - точки на другом основании трапеции. Мы знаем, что AD и BC равны 5 единицам.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ADC. Он равнобедренный, потому что две его стороны (AD и CD) равны 5 единицам (равные радиусу окружности), и угол ADC равен 60 градусов (по условию). Таким образом, угол CAD (половина угла ADC) равен 30 градусам.

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник CAD с углом CAD равным 30 градусам. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти длины остальных сторон этого треугольника.

Для этого мы можем использовать следующие тригонометрические отношения:

1. Тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне: $\tan(30^\circ) = \frac{CD}{AD}$

2. Мы уже знаем, что AD равно 5 единицам.

Теперь давайте решим уравнение для нахождения CD: $\tan(30^\circ) = \frac{CD}{5}$

Теперь выразим CD: $CD = 5 \cdot \tan(30^\circ)$

Значение тангенса 30 градусов равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь вычислим CD: $CD = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Чтобы упростить это, мы можем умножить и поделить на $\sqrt{3}$:

$CD = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ единиц.

Теперь у нас есть длина одной из боковых сторон трапеции (CD). Поскольку трапеция равнобедренная, то DC и AB равны между собой.

Периметр трапеции равен сумме всех её сторон: $P = AB + BC + CD + DA$

Из условия известно, что AB равно 2 радиусам окружности, то есть $AB = 2 \cdot 5 = 10$ единиц.

Таким образом, мы можем найти периметр трапеции: $P = 10 + 5 + \frac{5\sqrt{3}}{3} + 5$

Теперь сложим числа: $P = 15 + \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Это и есть итоговый периметр трапеции. Мы можем оставить его в таком виде или приблизить значение, если это необходимо для конкретных вычислений.