Question

Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной к окружности и обратную ей теорему Сформулируйте свойства о отрезках касательных к окружности, проведённых из одной точки. ​

Answer 1

Ответ:Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.

Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а.

Доказать: а - касательная к окружности.

Доказательство:

Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности.

Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.Если прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то она является касательнойЕсли провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.Объяснение:

Answer 2

Касательная к окружности: Пусть у нас есть окружность с центром в точке O и радиусом R, и пусть P - точка на окружности. Тогда касательная к окружности в точке P перпендикулярна радиусу, проведенному к точке P.

Обратная теорема: Если из данной точки провести к окружности касательную, то она будет перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Доказательство:

1. Пусть у нас есть окружность с центром в точке O и радиусом R, и пусть P - точка на окружности. Рассмотрим радиус OP, соединяющий центр окружности O с точкой P.

2. Теперь давайте проведем касательную к окружности в точке P и обозначим ее как PT.

3. Предположим, что PT не перпендикулярна радиусу OP. Это означает, что угол между PT и OP не равен 90 градусов.

4. Рассмотрим треугольник OPT. Угол OPT равен углу TOP, так как они оба являются внутренними углами треугольника OPT и соответственно равны. Но угол TOP равен половине угла между PT и OP, так как они оба стартуют из одной и той же точки T. Поэтому угол OPT равен половине угла между PT и OP.

5. Но радиус OP и касательная PT не могут иметь угол между собой, меньший 90 градусов, так как PT была проведена как касательная. Это противоречие.

6. Следовательно, наше предположение о том, что PT не перпендикулярна радиусу OP, неверно.

7. Таким образом, PT перпендикулярна радиусу OP.

Это доказывает обратную теорему и свойство отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки: касательные, проведенные из одной и той же точки к окружности, являются радиусами этой окружности.