Question

Вершини чотирикутника ABMK мають координати А(2;-2),В(1;2),М(-3;1),К(-2;-3). 1) Знайдіть середину діагоналі АМ;2)Доведіть,що даний чотирикутник- прямокутник ​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

  1) Нехай серединою діагоналі АМ  4 - кутника АВМК є  т. С( х₀ ; у₀ ) ,

    тому  х₀ = ( 2 - 3 )/2 = - 0,5 ;    у₀ = (- 2 + 1 )/2 = - 0,5 ;  т. С(- 0,5 ;- 0,5 ) .

  2) Для доведення твердження знайдемо довжини діагоналей

     АМ  і  ВК , а також їх середини . Якщо всі ці величини будуть

     однакові , то 4 - кутник є прямокутником .

 АМ = √[ ( 2 + 3 )² + (- 2 - 1 ) ²] = √ ( 5² + (- 3 )² ) = √( 25 + 9 ) = √34 ;

 BK = √[ (- 2 - 1 )² + (- 2 - 3 ) ²] = √ ( (- 3 )² + (- 5 )²  ) = √( 9 + 25 ) = √34 ;

           AM = BK = √34 .

  У завд. 1)  знайдено , що серединою діагоналі АМ є т. С(- 0,5 ;- 0,5 )

  Знайдемо середину діагоналі ВК :     х = ( 1 - 2 )/2 = - 0,5 ;

     у = (2 - 3 )/2 = - 0,5 . Отже , середини обох діагоналей 4 - кутника

  АВМК є т. С(- 0,5 ;- 0,5 ) , тому він є прямокутником .  

   

Answer 2

Для вирішення цих завдань, спочатку знайдемо координати середини діагоналі АМ і перевіримо, чи є цей чотирикутник прямокутником.

1. Знаходження середини діагоналі АМ:

Середина діагоналі може бути знайдена за допомогою формули: (Середина) = [(Координати першої вершини + Координати другої вершини) / 2]

Для точок А(2;-2) і М(-3;1):

Середина діагоналі АМ: (Середина) = [(2 + (-3)) / 2, (-2 + 1) / 2] (Середина) = [-1/2, -1/2]

Отже, середина діагоналі АМ має координати (-1/2, -1/2).

2. Доведення, що чотирикутник ABMK є прямокутником:

Для того, щоб довести, що чотирикутник є прямокутником, нам потрібно перевірити, чи виконується умова, що протилежні сторони чотирикутника є паралельними і діагоналі відбиваються одна від одної під прямим кутом.

Спершу перевіримо, чи сторони паралельні. Маємо точки: A(2;-2), В(1;2), М(-3;1), К(-2;-3)

Перевіримо сторони:

AB = √[(1 - 2)² + (2 - (-2))²] = √[1 + 16] = √17 BM = √[(-3 - 1)² + (1 - 2)²] = √[16 + 1] = √17 MK = √[(-2 + 3)² + (-3 - 1)²] = √[1 + 16] = √17 KA = √[(-2 - 2)² + (-3 - (-2))²] = √[16 + 1] = √17

Отже, усі сторони AB, BM, MK, KA мають однакову довжину, що вказує на рівність діагоналей AM і BK.

Тепер перевіримо, чи діагоналі відбиваються одна від одної під прямим кутом. Вже знайдено середину діагоналі AM, яка дорівнює (-1/2, -1/2).

Знайдемо координати середини діагоналі BK:

Середина діагоналі BK: (Середина) = [(1 + (-2)) / 2, (2 + (-3)) / 2] (Середина) = [-1/2, -1/2]

Якщо діагоналі відбиваються одна від одної під прямим кутом, то їхні середини мають однакові координати. Отже, у нас є:

Середина діагоналі AM: (-1/2, -1/2) Середина діагоналі BK: (-1/2, -1/2)

Це означає, що діагоналі AM і BK відбиваються одна від одної під прямим кутом, і чотирикутник ABMK є прямокутником.