Question

У правильній чотирикутній піраміді кут між апофемою і площиною основи дорівнює а. Бісектриса цього кута перетинає висоту піраміди в точці, яка розміщена на відстані d від апофеми. Знайдіть бічну поверхню піраміди.

Answer 1

Ответ:

Боковая поверхность пирамиды равна $\displaystyle S_{bok}=\frac{4d^2}{tg^2\frac{\alpha }{2}\cdot{cos\;\alpha } }$  ед.²

Объяснение:

В правильной четырехугольной пирамиде угол между апофемой и плоскостью основания равен α. Биссектриса этого угла пересекает высоту пирамиды в точке, которая размещена на расстоянии d от апофемы.  Найдите боковую поверхность пирамиды.

Дано: KABCD - правильная пирамида;

КЕ - апофема;

∠КЕО = α;

ЕН - биссектриса ∠КЕО;

Расстояние от Н до КЕ равно d.

Найти: S бок.

Решение:

• Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

⇒ НТ ⊥ ЕК; НТ = d.

• Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

$\displaystyle \boxed { S_{bok}=\frac{1}{2}P_{osn}\cdot{h}}$ , где h - апофема.

• В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат.

⇒ необходимо найти сторону квадрата и апофему.

1. Рассмотрим ΔЕТН и ΔЕНО - прямоугольные.

∠ТЕН = ∠НЕО = α/2 (ЕН - биссектриса)

ЕН - общая.

⇒ ΔЕТН = ΔЕНО (по гипотенузе и острого углу)

• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ ТН = НО = d

2. Найдем сторону основания.

Рассмотрим ΔЕНО - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle tg\;\frac{\alpha }{2}=\frac{HO}{EO} \\\\EO=\frac{HO}{tg\;\frac{\alpha }{2} } =\frac{d}{tg\;\frac{\alpha }{2} }$

⇒  $\displaystyle AD = 2EO=\frac{2d}{tg\;\frac{\alpha }{2} }$

3. Найдем апофему.

Рассмотрим ΔЕКО - прямоугольный.

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle cos\;\alpha =\frac{EO}{EK}\\ \\EK=\frac{EO}{cos\;\alpha } =\frac{d}{tg\;\frac{\alpha }{2} \cdot{cos\;\alpha }}$

4. Теперь можем найти S бок.

$\displaystyle P_{osn}=AD\cdot4=\frac{8d}{tg\;\frac{\alpha }{2} }$

$\displaystyle S_{bok}=\frac{1}{2}\cdot\frac{8d}{tg\;\frac{\alpha }{2} }\cdot\frac{d}{tg\;\frac{\alpha }{2}\cdot{cos\;\alpha } } =\frac{4d^2}{tg^2\frac{\alpha }{2}\cdot{cos\;\alpha } }$

Боковая поверхность пирамиды равна $\displaystyle S_{bok}=\frac{4d^2}{tg^2\frac{\alpha }{2}\cdot{cos\;\alpha } }$  ед.²

#SPJ1

Answer 2

Давайте позначимо дані:

1. Нехай ABCD - це правильна чотирикутна піраміда, де ABCD - основа, і M - центр основи.

2. Нехай AM - апофема піраміди, і вона перпендикулярна до площини основи ABCD.

3. Нехай BM - бісектриса кута між апофемою AM і площиною основи ABCD, і вона перетинає висоту піраміди в точці P.

4. d - відстань від точки P до апофеми AM.

Для знаходження бічної поверхні піраміди, нам спочатку потрібно знайти довжину бічної грані. Враховуючи, що піраміда ABCD - правильна, усі бічні грані є рівнобедреними трикутниками. Отже, ми можемо використовувати властивості подібних трикутників.

Розглянемо трикутник BMP:

• Ми знаємо, що BM - бісектриса кута AMB, отже, кут AMB дорівнює половині кута BMA.
• Також, BMP і AMB - подібні трикутники, оскільки кути при вершині M дорівнюють один одному.

Нехай AMB = θ, тоді BMA = 2θ (оскільки BM - бісектриса).

Ми також знаємо, що AM = AM (спільна сторона), отже, з подібності трикутників ми можемо записати відношення:

(AM) / (BM) = (BM) / (MP)

Тобто (BM)^2 = (AM * MP).

Ми також знаємо, що BM = AM * tan(θ), оскільки тангенс кута дорівнює протилежній стороні (AM) поділити на прилеглу сторону (BM). Заміняючи це значення в попередньому рівнянні:

(AM * tan(θ))^2 = (AM * MP)

AM може бути спрощено, отже:

tan^2(θ) = MP

Тепер ми можемо виразити MP через d:

MP = d

Тобто, tan^2(θ) = d

Знаючи це, ми можемо знайти значення тангенса кута θ, а потім знайти сам кут:

tan(θ) = √d

θ = arctan(√d)

Тепер, знаючи кут θ, ми можемо знайти висоту піраміди:

h = 2 * BM = 2 * AM * tan(θ) = 2 * AM * √d

Відомо, що AM дорівнює половині діагоналі основи піраміди ABCD. Нехай d1 і d2 - сторони основи ABCD. Тоді:

AM = (1/2) * √(d1^2 + d2^2)

Отже, висота піраміди:

h = 2 * (1/2) * √(d1^2 + d2^2) * √d = √(d1^2 + d2^2) * √d = √(d1^2d + d2^2d)

Тепер, для знаходження бічної поверхні піраміди, використаємо формулу для бічної поверхні прямокутної піраміди:

Бічна поверхня = (1/2) * периметр основи * h

Периметр основи ABCD дорівнює сумі всіх чотирьох сторін основи:

Периметр = d1 + d2 + d1 + d2 = 2 * (d1 + d2)

Тепер підставимо значення периметра і висоти:

Бічна поверхня = (1/2) * 2 * (d1 + d2) * √(d1^2d + d2^2d) = (d1 + d2) * √(d1^2d + d2^2d)

Отже, бічна поверхня піраміди дорівнює (d1 + d2) * √(d1^2d + d2^2d).