Question

Із деякої точки до площини проведено дві похили, довжина кожної дорівнює 4 см. Вони утворюють з площиною кути по 60°. Знайдіть відстань між основами похилих, якщо кут між їх проекціями дорівнює 120°

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

фото

Answer 2

Давайте позначимо дані в задачі:

1. Довжина кожної похилої: a = 4 см.
2. Кут між похилими і площиною: α = 60°.
3. Кут між проекціями похилих: β = 120°.

Ми можемо використовувати геометричні властивості трикутників і тригонометрію для знаходження відстані між основами похилих.

1. Знайдемо висоту трикутника ABC, де A і B - точки дотику похилих з площиною, а C - точка, з якої проведено перпендикуляр на площину з точки, з якої вийшли похилі. Висоту позначимо як h.

З формули для висоти трикутника за його площею (S):

S = (1/2) * a * h

де "a" - довжина сторони трикутника (довжина похилої), а "S" - площа трикутника.

Так як ми знаємо, що кут між похилою і площиною дорівнює 60°, ми можемо вважати трикутник ABC за рівносторонній, а отже, кожен кут в ньому дорівнює 60°. Отже, висота h може бути знайдена за допомогою тригонометричних функцій:

h = a * sin(60°) = 4 см * √3 / 2 = 2√3 см

2. Тепер ми можемо знайти відстань між точками A і B, яка дорівнює довжині відрізка AB. Для цього ми можемо використовувати косинусний закон для трикутника ABC:

cos(α) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)

Де AB - відстань між точками A і B, BC - висота h, AC - довжина похилої a.

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

cos(60°) = (AB² + (2√3 см)² - (4 см)²) / (2 * AB * 2√3 см)

1/2 = (AB² + 12 см² - 16 см²) / (4√3 см * AB)

Тепер розв'яжемо це рівняння для AB:

AB² - 4AB√3 см + 24 см² - 16 см² = 0

AB² - 4AB√3 см + 8 см² = 0

Тепер використаємо квадратний корінь:

AB = [4√3 см ± √(48 см² - 32 см²)] / 2

AB = [4√3 см ± √(16 см²)] / 2

AB = [4√3 см ± 4 см] / 2

AB = 2√3 см ± 2 см

Отже, відстань між основами похилих дорівнює 2√3 см або 2 см, в залежності від вибору знака.