Question

Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии, умноженная на 81, равна сумме следующих четырёх членов этой прогрессии. Найдите знаменатель прогрессии, если известно, что она является монотонной

Answer 1

Ответ:

3.

Объяснение:

По условию (а1 + а2 + а3 + а4)•81 = а5 + а6 + а7 + а8.

В геометрической прогрессии

а5 = а1•q⁴

а6 = а2•q⁴

a7 = а3•q⁴

а8 = а4•q⁴, тогда

(а1 + а2 + а3 + а4)•81 = а1•q⁴ + а2•q⁴ + а3•q⁴ + а4•q⁴,

(а1 + а2 + а3 + а4)•81 = (а1 + а2 + а3 + а4)•q⁴,

q⁴ = 81

q = ± 3

Так как по условию прогрессия является монотонной, то q > 0, тогда q = 3.

Answer 2

Давайте обозначим знаменатель геометрической прогрессии как "q", а первый член как "a". Тогда четыре первых члена прогрессии будут a, aq, aq^2 и aq^3, а четыре следующих члена будут aq^4, aq^5, aq^6 и aq^7.

У нас есть уравнение, которое описывает данное условие:

81(a + aq + aq^2 + aq^3) = aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7

Давайте упростим это уравнение. Сначала умножим обе стороны на 1/q^4:

81(1 + q + q^2 + q^3) = q^4 + q^5 + q^6 + q^7

Теперь выразим сумму четырёх членов прогрессии и сумму следующих четырёх членов прогрессии:

1 + q + q^2 + q^3 = q^4(1 + q + q^2 + q^3)

Теперь выразим обе части уравнения как функции от q и упростим:

1 + q + q^2 + q^3 = q^4 + q^5 + q^6 + q^7

Теперь выразим сумму четырёх первых членов прогрессии:

1 + q + q^2 + q^3 = q^4(1 + q + q^2 + q^3)

Разделим обе стороны на выражение (1 + q + q^2 + q^3), чтобы избавиться от скобок:

1 = q^4

Теперь мы знаем, что q^4 = 1. Чтобы найти знаменатель q, возьмем четвертый корень из обеих сторон:

q = ±1

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может быть равен 1 или -1, в зависимости от знака. Геометрическая прогрессия монотонна, если знаменатель положителен (q = 1).