Question

Через вершини А і С трикутника ABC проведено коло , яке перетинае сторони AB i BC у точках Р i К відповідно . Відомо , що АС = 21 см , PK - 7 см , ВК - 5 см . Знайдіть вiдрiзок АВ .

Answer 1

Ответ:

$AB = 15$

Объяснение:

Четырехугольник $APKC$ вписанный, это значит, что суммы противоположных углов равны $180^\circ$. Например, $\angle APK + \angle ACK = 180^\circ$, но $\angle APK + \angle BPK = \angle APB = 180^\circ$, значит $\angle ACK = \angle BPK$.

Аналогично $\angle BKP = \angle BAC$.

Значит треугольники $PBK$ и $ABC$ подобны,

$\displaystyle\frac{{PK}}{{AC}} = \displaystyle\frac{{BK}}{{AB}};\\\\\displaystyle\frac{7}{{21}} = \displaystyle\frac{5}{{AB}};\\\\AB = \displaystyle\frac{{5 \cdot 21}}{7} = 15.$

Answer 2

Щоб розв'язати це завдання, ми можемо скористатися тим, що коло, описане навколо трикутника, є описаним колом. Тобто, точка перетину медіан трикутника є центром цього кола. Знаючи це, ми можемо використовувати властивості трикутника і кола, щоб знайти відрізок AB.

Означимо центр описаного кола через O. Оскільки PK і VK - медіани трикутника ABC, це означає, що точка O лежить на лінії, яка з'єднує середини сторін AB і BC.

1. Розглянемо трикутник ABK. Знаючи, що PK - медіана, можемо використати властивість медіани: $PK = \frac{1}{2}BM$, де BM - медіана, яка поділяє сторону AC пополам.

$BM = 2 \times PK = 2 \times 7 \, \text{см} = 14 \, \text{см}$

2. Тепер розглянемо трикутник ABC. Оскільки точка O - центр описаного кола, то радіус кола - це відстань від центру до будь-якої вершини трикутника. Таким чином, BO - радіус описаного кола.

3. Розглянемо трикутник ВОК. Знаючи, що ВК і ВО - радіуси описаного кола, можемо використовувати теорему косинусів:

$BV^2 = VO^2 + VK^2 - 2 \times VO \times VK \times \cos(\angle VOK)$

Оскільки $\angle VOK$ - це внутрішній кут трикутника ABC при вершині B, ми можемо записати:

$BV^2 = VO^2 + VK^2 - 2 \times VO \times VK \times \cos(\angle ABC)$

4. Знаючи, що $\angle ABC$ - внутрішній кут трикутника, ми можемо визначити його за допомогою теореми косинусів:

$\cos(\angle ABC) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \times AC \times BC}$

5. Маємо $AC = 21 \, \text{см}$ (з умови задачі), а $BC = 2 \times BM = 2 \times 14 \, \text{см} = 28 \, \text{см}$ (з попереднього обчислення).

6. Заміщуємо ці значення в теоремі косинусів:

$\cos(\angle ABC) = \frac{21^2 + 28^2 - AB^2}{2 \times 21 \times 28}$

7. Знаючи $\cos(\angle ABC)$, можемо знайти $\angle ABC$, а з нього визначити $\cos(\angle VOK)$.

8. Заміщуємо ці значення в рівняння з кутовою теоремою косинусів для трикутника ВОК і розв'язуємо його відносно $VO$.

9. Враховуючи, що $VO = BO$ (оскільки BO - радіус описаного кола), ми знаходимо довжину відрізка AB.

Не забувайте перевірити ваші обчислення та відповіді.