Question

Доведіть що в кожному чотирикутнику є кут не менший від 90

Answer 1

Відповідь:

Пояснення: Доведення.

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо два випадки: опуклий чотирикутник і неправильний чотирикутник (тобто чотирикутник, у якого всі сторони та кути можуть мати різні довжини і значення).

1. Опуклий чотирикутник:

Опуклий чотирикутник - це чотирикутник, у якого всі внутрішні кути менше 180 градусів. Давайте доведемо, що в опуклому чотирикутнику завжди є кут не менше 90 градусів.

Розглянемо опуклий чотирикутник ABCD. Нехай M буде серединою сторони AB, і N буде серединою сторони BC. Ми можемо побудувати дві діагоналі - AC і BD.

Ми можемо застосувати теорему про кути в трикутнику до трикутників AMC і BNC, де MC і NC - медіани відповідних сторін:

У трикутнику AMC: ∠AMC ≥ 90 градусів, бо MC - половина діагоналі AC.

У трикутнику BNC: ∠BNC ≥ 90 градусів, бо NC - половина діагоналі BD.

Отже, в опуклому чотирикутнику ABCD завжди є кут не менше 90 градусів.

2. Неправильний чотирикутник:

Неправильний чотирикутник може мати різні довжини сторін і різні значення кутів. Давайте розглянемо можливий неправильний чотирикутник зі сторонами AB, BC, CD і DA, де кути A, B, C і D можуть бути довільними.

Якщо хоча б один з цих кутів (нехай це буде кут A) менше 90 градусів, то ми отримаємо опуклий чотирикутник, який ми розглянули в першому випадку. Тобто, в опуклому чотирикутнику завжди є кут не менше 90 градусів.

Якщо всі кути в неправильному чотирикутнику більше або рівні 90 градусам, то це також задовольняє умову задачі.

Таким чином, у всіх чотирикутниках (як опуклих, так і неправильних) завжди є кут не менше 90 градусів.