Question

Площа круга, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 48 π см². Знайдіть довжину сторони BC, якщо кут A дорівнює 120°.

Answer 1

Ответ:

ВС=12см

Объяснение:

Sк.=πR²; → R=√(Sк/π)=√(48π/π)=

=4√3 см

R=BC/(2sin∠A);

sin120°=√3/2;

BC/(2*√3/2)=4√3

BC=4√3*√3

ВС=12см

Answer 2

Для знаходження довжини сторони BC трикутника ABC ми можемо використовувати властивості кола, описаного навколо цього трикутника. Одна з таких властивостей - це те, що площа кола, описаного навколо трикутника, дорівнює половині добутку довжини всіх трьох сторін трикутника на радіус описаного кола. Радіус описаного кола можна знайти за допомогою закону синусів.

Закон синусів виглядає так:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$,

де $a$, $b$, $c$ - довжини сторін трикутника ABC, а $A$, $B$, $C$ - відповідні кути.

У нашому випадку ми знаємо, що кут $A$ дорівнює 120°, і площа кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює $48\pi$ см².

Площу кола можна знайти за формулою $S_{\text{кола}} = \pi R^2$, де $R$ - радіус кола.

Отже, ми можемо записати:

$\pi R^2 = 48\pi$.

Звідси ми отримуємо:

$R^2 = 48$.

Тепер ми можемо знайти радіус $R$:

$R = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ см.

Тепер, знаючи радіус описаного кола, ми можемо знайти довжини сторін трикутника ABC за допомогою закону синусів. Але спочатку нам потрібно знайти кути $B$ і $C$.

Оскільки сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180°, то:

$A + B + C = 180°$.

Ми знаємо, що $A = 120°$, тому:

$120° + B + C = 180°$.

Тепер можемо знайти $B + C$:

$B + C = 180° - 120° = 60°$.

Тепер ми можемо використовувати закон синусів для знаходження сторін трикутника:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$.

Знаючи значення кута $A$ і радіус $R$, ми можемо знайти сторону $a$ (протилежну куту $A$):

$\frac{a}{\sin(120°)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin(B)}$.

Тепер ми можемо знайти $\sin(B)$:

$\sin(B) = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sin(120°)}{a}$.

Зауважте, що $\sin(120°) = \sin(180° - 120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Підставляючи це значення, ми маємо:

$\sin(B) = \frac{4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{6}{a}$.

Тепер ми можемо виразити сторону $a$:

$a = \frac{6}{\sin(B)}$.

Але ми також знаємо, що $B + C = 60°$, тому $C = 60° - B$. Ми також можемо використовувати закон синусів для знаходження сторони $c$, протилежної куту $C$:

$\frac{c}{\sin(C)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin(B)}$.

Підставимо значення $\sin(B)$ з попереднього рівняння:

$\frac{c}{\sin (60\mathrm{°}-B)}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{6}{a}}$ 0 0