Question

Трикутник описано навколо кола радіуса 3 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо цього трикутника очень надоварианты: 6, ✓32✓3, 3✓3​

Answer 1

Відповідь: R=6см

Пояснення: Існує теорема "Правильний опуклий многокутник є вписаним у коло і описаним навколо кола". Тобто, це може бути тільки правильний трикутник.

Тоді маємо: $R=a/\sqrt{3}$ і $r=a/2\sqrt{3}$. Із другої формули $a=6\sqrt{3}$.

Підставимо в першу $R=\frac{6\sqrt{3} }{\sqrt{3} }=6$

Answer 2

Радіус кола, описаного навколо трикутника, можна знайти за допомогою формули вписаного кола. Ця формула виглядає так:

$R = \frac{abc}{4S},$

де $R$ - радіус описаного кола, $a$, $b$, і $c$ - довжини сторін трикутника, а $S$ - його площа.

В даному випадку трикутник описаний навколо кола радіуса 3 см. Означає, що відстань від центру кола до кожного з вершин трикутника дорівнює 3 см. Таким чином, сторони трикутника є діаметрами описаного кола. Тобто $a = 2 \cdot 3\, \text{см} = 6\, \text{см}$, $b = 6\, \text{см}$, і $c = 6\, \text{см}$.

Далі нам потрібно знайти площу трикутника. Ми можемо використовувати формулу Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

де $p$ - половина периметру трикутника.

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6\, \text{см} + 6\, \text{см} + 6\, \text{см}}{2} = 9\, \text{см}.$

Тепер підставимо значення $a$, $b$, $c$, і $p$ у формулу площі:

$S = \sqrt{9\, \text{см} \cdot (9\, \text{см} - 6\, \text{см}) \cdot (9\, \text{см} - 6\, \text{см}) \cdot (9\, \text{см} - 6\, \text{см})} = \sqrt{9\, \text{см} \cdot 3\, \text{см} \cdot 3\, \text{см} \cdot 3\, \text{см}} = \sqrt{243\, \text{см}^4} = 9\sqrt{3}\, \text{см}^2.$

Тепер, застосовуючи значення $a$, $b$, $c$, і $S$ до формули радіуса описаного кола, ми отримуємо:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{6\, \text{см} \cdot 6\, \text{см} \cdot 6\, \text{см}}{4 \cdot 9\sqrt{3}\, \text{см}^2} = \frac{216\, \text{см}^3}{36\sqrt{3}\, \text{см}^2} = \frac{6\sqrt{3}\, \text{см}^3}{\sqrt{3}\, \text{см}} = 6\, \text{см}.$

Отже, радіус кола, описаного навколо цього трикутника, дорівнює 6 см.