Question

Сторона шестикутника, вписаного в коло, дорівнює 2√3 см. Знайдіть сторону трикутника, описаного навколо цього кола ​

Answer 1

12 см.

Дано:

Сторона шестикутника, вписаного в коло, дорівнює 2√3 см. Знайдіть сторону трикутника, описаного навколо цього кола. ​

Розв'язання

Якщо шестикутник вписаний , то радіус кола, описаного навколо нього R=а=2√3 см, де а сторона шестикутника.

Для трикутника це коло буде вписаним з r=2√3 см. Формула радіуса кола вписаного в трикутник:

r=a√3 /6, де а сторона трикутника.

Тоді a√3 /6=2√3 , звідси а=12 см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі можна скористатися властивостями вписаних і описаних фігур в коло.

1. Відомо, що сторона шестикутника, вписаного в коло, дорівнює 2√3 см.

2. Шестикутник розділяє коло на шість рівних сегментів. Кожен такий сегмент є сектором кола.

3. Одна шоста частина кола (сектор) дорівнює 360 градусів / 6 = 60 градусів.

4. Сектор кола, який відповідає одній стороні шестикутника, складає 60 градусів. Таким чином, цей сектор є центральним кутом шестикутника.

5. Для обчислення радіуса описаного кола можна скористатися тригонометричними функціями. Половина сторони шестикутника є стороною правильного трикутника, який утворюється за однією зі сторін цього сектора. Ось як можна це зробити:

   Розглянемо правильний трикутник, один зі спільних кутів якого дорівнює 60 градусів. Інший кут правильного трикутника дорівнює 90 градусів, оскільки ми розглядаємо сектор кола.

   За теоремою синусів в правильному трикутнику: $\frac{a}{\sin(60^\circ)} = \frac{R}{\sin(90^\circ)}$,

   де $a$ - половина сторони шестикутника (яку ми шукаємо), $R$ - радіус описаного кола.

   За тими ж тригонометричними співвідношеннями $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(90^\circ) = 1$.

   Тоді отримаємо: $\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{R}{1}$.

   Перегруппуємо це рівняння, щоб знайти $a$: $a = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

6. Відомо, що сторона шестикутника дорівнює 2√3 см. Підставимо це значення в рівняння, щоб знайти радіус описаного кола: $2\sqrt{3} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

7. Перегруппуємо рівняння та вирішимо його відносно $R$: $R = \frac{3}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$. $R = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см.

Таким чином, радіус описаного кола дорівнює $\sqrt{3}$ см, що ж є стороною правильного трикутника, описаного навколо цього кола.