Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ BD пересекается с хордой AСв точке Е. Диагональ BD- биссектриса угла АВС. Найди длины диагоналей BD и AC, если CD= 2 см, BE = 3 см. ПОМОГИТЕ ПЖ.

Answer 1

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ BD пересекается с хордой AС в точке Е. Диагональ BD- биссектриса угла АВС. Найди длины диагоналей BD и AC, если CD= 2 см, BE = 3 см.

Решение

1)Тк ВD- биссектриса , то ∠АВD=∠СВD ⇒ хорды равны АD=СD.

2)Тк ВD-диаметр,то ∠ВСD=∠ВАD=90°.

3) ΔАВD= ΔСВD как прямоугольные по катету и гипотенузе : АD=СD см п1, BD-общая ⇒ то ∠АDЕ=∠СDЕ=180:2=90 ⇒ СЕ⊥ВD, АС⊥ВD ⇒ АС=2*СЕ.

4) Пусть DE=x, x>0, BD=3+x

Тогда по правилу (*) имеем CD²=ED*BD , 2²=x*(3+x),

x²=3X-4=0 , x1=-4<0 ,x2=1.

DE=1 , BD=1+3=4 ( см)

4) Тогда по правилу (**) имеем CЕ²=ED*BЕ,

CЕ²=3*1, СЕ=√3 см, ⇒ АС=2√3 см

=============================

(*)Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

(**) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства вписанных углов и биссектрис в четырехугольниках. Давайте обозначим следующие величины:

1. Пусть $CD = 2$ см.
2. Пусть $BE = 3$ см.
3. Обозначим длину $AC$ как $x$.
4. Обозначим длину диагонали $BD$ как $y$.

Известно, что $BD$ является биссектрисой угла $ABC$, поэтому можно воспользоваться свойством биссектрисы:

$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CB}$

Теперь мы можем подставить известные значения:

$\frac{AE}{2} = \frac{AB}{CB}$

Мы знаем, что $CB$ - это радиус окружности, а $AB$ - это половина хорды $AC$, поэтому:

$\frac{AE}{2} = \frac{x/2}{CB}$

Теперь мы можем выразить $AE$ через $x$ и $CB$:

$AE = \frac{x}{CB}$

Также, так как $BE$ - это другая хорда, которая пересекается с диагональю $BD$ в точке $E$, то можно использовать свойство пересекающихся хорд:

$AE \cdot EC = BE \cdot DE$

Подставим известные значения:

$\frac{x}{CB} \cdot EC = 3 \cdot y$

Мы также знаем, что $CB$ - это радиус окружности, поэтому $EC = CB$. Теперь у нас есть:

$\frac{x}{CB} \cdot CB = 3 \cdot y$

Это упрощается до:

$x = 3y$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $x = 3y$
2. $\frac{x}{CB} \cdot CB = 3 \cdot y$

Для решения этой системы уравнений мы можем подставить значение $x$ из первого уравнения во второе уравнение:

$\frac{3y}{CB} \cdot CB = 3 \cdot y$

Это уравнение упрощается до:

$3y = 3y$

Уравнение верно для любых значений $y$, так как $CB$ (радиус окружности) не влияет на него. Таким образом, у нас есть бесконечно много решений для $y$.

Следовательно, длины диагоналей $BD$ и $AC$ зависят друг от друга и могут быть любыми, при условии, что выполняется соотношение $x = 3y$.